Если атомы примеси в полупроводнике являются однозарядными донорами, то концентрация нейтральных атомов примеси $N_{d}^{0}$ (т.е. концентрация n_d электронов, находящихся на донорных уровнях) выражается формулой [1,2]

N_{d}^{0} \equiv n_{d} = \frac{N_{d}}{1 + \frac{1}{g_{d}} \exp (\frac{E_{d} - F}{k T})},

(1.32)

где N_d – полная концентрация атомов донорной примеси в полупроводнике; E_d – энергия электрона на донорном уровне.

Фактор спинового вырождения донорного уровня g_d в формуле (1.32) учитывает то обстоятельство, что вероятность заполнения локального донорного уровня электроном больше вероятности заполнения квантового состояния с уровнем в разрешенной энергетической зоне (описываемой функцией Ферми–Дирака). Для однозарядной водородоподобной донорной примеси фактор вырождения уровня g_d = 2. Это является следствием того, что на донорном уровне может находиться электрон с любым из двух возможных направлений спина. Поэтому статистический вес нейтрального состояния донора (с электроном на локальном уровне) вдвое выше веса его ионизованного состояния (без электрона) [1–4].

С учетом выражения (1.32) концентрация положительных однозарядных ионов донорной примеси будет равна

N_{d}^{+} = N_{d} - N_{d}^{0} = \frac{N_{d}}{1 + g_{d} \exp (\frac{F - E_{d}}{k T})} .

(1.33)

Подчеркнем, что в формулы (1.32) и (1.33) входит абсолютное значение энергии электрона на донорном уровне, которое связано с энергией ионизации уровня ΔE_d соотношением

Δ E_{d} = E_{c} - E_{d},

(1.34)

так что разность

E_{d} - F = E_{c} - F - Δ E_{d}

(1.35)

не зависит от выбора начала отсчета энергии электронов (и уровня Ферми).

Вероятность заполнения электроном акцепторного уровня меньше вероятностей заполнения донорного уровня и уровня в разрешенной зоне. Концентрация акцепторных атомов, захвативших электрон (концентрация однозарядных отрицательных ионов акцепторной примеси), равна (ср. с выражением (1.32)) [1,2]

N_{a}^{-} = \frac{N_{a}}{1 + g_{a} \exp (\frac{E_{a} - F}{k T})},

(1.36)

где N_a – полная концентрация акцепторов.

В случае однозарядного водородоподобного акцептора захватываемый им электрон завершает образование парноэлектронной (ковалентной) химической связи и поэтому должен иметь вполне определенное направление спина. Это направление задается состоянием спина неспаренного электрона, уже имеющегося у акцепторного атома, и с равной вероятностью может быть одним из двух. Таким образом, нейтральное состояние акцепторного атома имеет вдвое больший статистический вес, чем ионизованное (т.е. с захваченным на акцепторный уровень электроном. С учетом этого обстоятельства при обмене электронами с простой (стандартной) валентной зоной акцепторный уровень должен характеризоваться фактором спинового вырождения g_a = 2.

Однако в Ge, Si, GaAs и ряде других полупроводников имеется двукратное вырождение валентной зоны у ее потолка (при $\vec{k} = 0$ ). Поэтому для водородоподобных акцепторов в таких полупроводниках полагают g_a = 4 [1,3].

В формуле (1.36) E_a – энергия электрона на акцепторном уровне, связанная с энергией ионизации уровня ΔE_a соотношением

Δ E_{a} = E_{a} - E_{v},

(1.37)

так что

E_{a} - F = Δ E_{a} + E_{v} - F .

(1.38)

Энергии ионизации донорных и акцепторных уровней для ряда полупроводников приведены в Приложении 3.