Теорема. Пусть Φ(x) – ограниченная функция такая, что

 

имеет ограниченные непрерывные производные по ξ первого и второго порядка, а коэффициенты переноса α(σ,ξ) и диффузии b(σ,ξ) являются непрерывными функциями своих аргументов. Тогда u(σ,ξ) дифференцируема по σ и удовлетворяет уравнению

,

а также краевому условию

.

Следствие. Марковская переходная функция Φ(σ,ξ;t,y) удовлетворяет уравнению

,

которое называется обратным уравнением Колмогорова.

Если существует переходная плотность

,

то она также удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова

.

Решение этих уравнений достаточно полно определяет функционирование диффузионных процессов. Для нахождения их однозначных решений необходимо задать краевые условия, определяемые условием стохастической непрерывности в виде

для марковской переходной функции или в виде

для переходной плотности распределения.