Для стационарных случайных процессов кроме средних статистических характеристик вводятся ещё характеристики, средние по времени.

Выберем k-ю реализацию – ξ^(k)(t) случайного процесса и будем наблюдать её в течение времени 2T. Рассмотрим среднее по времени значение этой реализации

.

 

Здесь символ < > обозначает усреднение по времени, в отличие от символа математического ожидания M – усреднения по распределению, или статистического усреднения. Это среднее по времени можно рассматривать как постоянную составляющую случайного процесса ξ(t). Аналогично можно определить усреднённую по времени функцию корреляции для стационарного процесса:

.

 

Заметим, что не для любого стационарного случайного процесса приведённые средние по времени характеристики имеют конечные значения. Но даже если такие характеристики существуют, то они могут быть различны для разных реализаций случайного процесса. Исключение составляют эргодические процессы, для которых эти характеристики одинаковы для всех реализаций и, кроме того, совпадают с соответствующими статистическими средними.

Определение. Случайный процесс будем называть эргодическим, если любая его статистическая характеристика равна соответствующей характеристике, полученной усреднением по времени одной-единственной реализации.

Из эквивалентности двух способов усреднения эргодического случайного процесса по распределению и по времени следует, что нет необходимости изучать свойства всего ансамбля реализаций, но достаточно одной реализации для определения всех характеристик рассматриваемого процесса.

Необходимыми и достаточными условиями эргодичности случайного процесса являются строгая стационарность и так называемая метрическая транзитивность, состоящая в том, что любая часть ансамбля реализаций случайного процесса, вероятностная мера которого отлична от 0 или 1, уже не является строго стационарным случайным процессом.

Рассмотрим пример строго стационарного, но неэргодического процесса. Пусть ξ(t)=η(t)+ζ, где η(t) – эргодический случайный процесс, а ζ – некоторая случайная величина. Очевидно, процесс ξ(t) является строго стационарным, но его средние по времени характеристики различны для различных реализаций, поэтому такой случайный процесс будет неэргодическим.

Итак, если случайный процесс эргодический, то любая его реализация определяет свойства всего ансамбля и поэтому результат усреднения по времени, выполненный по одной реализации, совпадает с соответствующей статистической характеристикой процесса, то есть

,

.

Можно ввести и другие средние по времени характеристики эргодического процесса. Так, среднее время пребывания процесса ниже уровня ξ совпадает с вероятностью того, что значения случайного процесса в любой момент времени меньше, чем ξ, то есть

,

здесь

 

Одномерная характеристическая функция определяется как среднее по времени значение процесса exp{iξ^(k)(t)u}, то есть в виде

.

 

Основное преимущество средних по времени характеристик состоит в том, что для их вычисления требуется наблюдение за одной-единственной реализацией, чем чаще всего и располагает исследователь.