В разделе 7.3 обобщение понятия "система счисления" осуществлялось за счет того, что в качестве базиса позиционной системы счисления рассматривалась последовательность чисел, не являющаяся геометрической прогрессией. "Цифра" при этом всегда истолковывалась как натуральное число. Однако, в понятие "цифра" можно вкладывать и другой смысл. Именно на принципе "другого смысла цифры" основано формирование уравновешенных систем счисления.

Рассмотрим широко известную задачу "о взвешивании".

Задача. Найти такой набор из четырех гирь, чтобы с их помощью на чашечных весах можно было взвесить любой груз массой от 1 до 40 кг включительно. При необходимости гири можно располагать на обеих чашках весов.

Ответ: искомый набор состоит из гирь в 1, 3, 9 и 27 кг.

Запись о взвешивании одного килограмма может быть такой: 0 0 0 13.

Взвешивание двух килограммов требует использование двух гирь: на пустую чашку весов помещаем гирю в 3 кг, а на чашку с грузом - в 1 кг. Результат этого взвешивания можно записать в таком виде: 0 0 1 -13.

Взвешивание четырех килограммов можно отразить записью: 0 0 1 13.

Более сложно выражается взвешивание груза в 5 килограммов: 0 1 -1 -13. Эта запись означает, что на пустую чашку помещена гиря, масса которой равна единице третьего разряда в троичной системе счисления, то есть 9, а на чашку с грузом помещены гири в 1 и 3 кг.

Из приведенных записей ясно, что если перед цифрой того или иного разряда стоит минус, то это означает, что гиря соответствующей массы помещена на чашку с грузом и ее масса вычитается из общей массы. Иначе говоря, цифра " -1" есть отрицательная единица.

Действительно:

0 1 -1 -13 = 0·33 + 1·32 - 1·31 - 0·30 = 510.

Приведем несколько других записей результатов взвешивания:

0 1 -1 0 3 = 0·33 + 1·32 - 1·31 + 0·30 = 610;
0 1 -1 1 3 = 0·33 + 1·32 - 1·31 + 1·30 = 710;
0 1 0 - 1 3 = 0·33 + 1·32 + 0·31 - 1·30 = 810.

Из записей следует, что результат любого взвешивания на чашечных весах выражается числом, записанным в системе счисления с основанием Р = 3 и с алфавитом, состоящим из -1, 0 и 1.

Уравновешенной троичной системой счисления или троичной системой с симметричным основанием называется система с основанием Р = 3 и цифрами -1, 0,1, где цифра -1 означает "минус единицу".

Выше были приведены примеры чисел, записанных в троичной уравновешенной системе счисления, и каждая из них начиналась цифрой "1". Можно привести примеры чисел, начинающихся с цифры "-1":

-1 1 -1 0 13 = -1·34 + 1·33 - 1·32 + 0·31 + 0·30 = -6410;
-1 -1 1 1 13 = -1·34 - 1·33 + 1·32 + 1·31 + 1·30 = -9510.

Ясно, что всякое число, начинающееся цифрой "-1", есть отрицательная величина, а число, начинающееся цифрой "1", всегда положительная величина.

Продолжение