Особое место в применении метода Монте-Карло занимает случаи, когда он используется для организации эволюции изучаемой системы, то есть как главное средство при создании «виртуального» эксперимента, моделирующего реальную систему.

Рассмотрим случайное блуждание частицы в плоскости, которое будет имитировать хаотическое движение броуновских частиц. Они представляют собой мелкие (десятые доли микрона) макроскопические частицы. При наблюдении в микроскоп видно, что эти частицы находятся в непрерывном хаотическом движении.

Молекулярная теория объясняет броуновское движение нерегулярными соударениями движущихся молекул с броуновской частицей, нерегулярность этих соударений проявляется вследствие сравнительно малого размера частицы. При этом коллектив броуновских частиц находятся в состоянии термодинамического равновесия с молекулярной системой: броуновские частицы имеют такую же среднюю энергию , как и молекулы, их скорости распределены в соответствии с распределением Максвелла. Во внешних полях броуновские частицы ведут себя подобно идеальному газу, так как их взаимодействием друг с другом из-за больших расстояний между ними можно пренебречь, даже если они помещены в жидкость, поэтому они распределены в пространстве в соответствии с распределением Больцмана, справедливого для классического равновесного идеального газа. 

В простейшей модели броуновское движение можно представить как случайное блуждание частицы с переменным или даже с постоянным небольшим шагом. При этом приращения координат х и у на каждом шаге вычисляются независимо друг от друга как случайные величины, принимающие значения от - h до + h, где h - максимальное значение элементарного шага, составляющее небольшую долю размера экрана. Тогда приращение координат определяется выражением

 

Dх = 2 * h * (RND - 0.5),

Dу = 2 * h * (RND - 0.5),                      (1)

 

где случайное число, генерируемое при обращении к функции RND (так эта функция называется на языке Basic или Visual Basic), принимает с равной вероятностью значения от 0 до 1, причём при каждом новом обращении его значение отличается от предыдущего. После определения новых координат частица перерисовывается в новом положении, в результате она совершает на экране случайное движение, а если имеется коллектив таких частиц, то каждая из них независимо от других будет двигаться по своей траектории.

Для изучения случайных блужданий получена формула Эйнштейна - Смолуховского, справедливая для средних значений при большом числе испытаний (или для большого коллектива частиц):

,                                               (2)

где левая часть - среднее значение квадрата расстояния от начального положения броуновской частицы до её положения через промежуток времени t, k - постоянная Больцмана, T - абсолютная температура, b - коэффициент вязкого трения, т.е. коэффициент пропорциональности между силой вязкого трения и скоростью частицы, зависящий от её размеров и вязкости среды, в которой она движется.

Соотношение Эйнштейна – Смолуховского, т.е. прямо пропорциональную зависимость между средним квадратом отклонения частицы и промежутком времени t, легко проверить экспериментально при помощи предлагаемой компьютерной модели. Для этого следует выпускать частицы по одной из какой-то фиксированной точки - начала координат - и определять их положение на экране монитора через одинаковый промежуток времени (можно применять компьютерный таймер или даже ручной секундомер). После нескольких (не менее 20 - 30) испытаний следует усреднить квадрат расстояния, на которое удалилась частица от начальной точки в течение заданного промежутка времени. Проведя затем подобные серии испытаний для других промежутков времени, можно убедиться в прямо пропорциональной зависимости среднего квадрата расстояния от времени.

Именно таким образом в реальных опытах с броуновскими частицами Ж. Перрен в 1908 - 1910 гг. определил постоянную Больцмана (а из неё – число молекул в одном моле - число Авогадро). Исторически этот опыт стал одним из решающих экспериментов при возникновении и становлении молекулярной теории строения вещества, и только после опытов Перрена большинство исследователей – физиков и химиков – признали существование молекул как реальных объектов.

 

 

Кадр из компьютерного эксперимента приведён на рисунке. Хаотические траектории броуновских частиц вырисовываются на экране малыми отрезками прямых линий. Соответствующая компьютерная программа приведена в приложении.