Теорема 3 (Виета).  Для того чтобы числа были решениями квадратного уравнения

 

,

 

необходимо и достаточно выполнение условий:

 

;  .

 

 

С помощью теоремы Виета можно, не вычисляя самих корней, устанавливать их знаки, вычислять по коэффициентам различные выражения, зависящие от корней, решать некоторые системы и т.д.

 

Теорема 4. Для того чтобы корни квадратного уравнения

имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений

   и    ;

при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие

;

и оба корня будут отрицательны, если

.

  

Теорема 5. Для того чтобы корни квадратного уравнения

имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения условия

.

 

Замечание. При использовании теоремы 5 нет необходимости проверять знак дискриминанта.

 

 Выделение полного квадрата, т.е. представление квадратного трехчлена в виде

 

 ,

 

позволяет найти координаты вершины параболы

 

.

      

При ветви параболы направлены вверх, причем абсцисса вершины параболы является точкой минимума. При ветви параболы направлены вниз, причем абсцисса вершины параболы является точкой максимума. Знак D определяет количество корней.