Для решения задач данной темы необходимо владеть различными приемами: приведением уравнений, неравенств, систем к стандартному виду, использованием свойств функций, применением графических иллюстраций и аналитических выкладок.

 

При решении неравенств и уравнений фундаментальное значение имеет понятие равносильности.

 

Определение. Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения, неравенства или совокупности неравенств (уравнений) называется множество значений переменной x, являющееся пересечением областей определения всех функций, входящих в эти уравнения, неравенства, системы или совокупности неравенств (уравнений).

 

Определение. Два уравнения и или два неравенства и называются равносильными (эквивалентными) на множестве , если множества решений уравнений (неравенств) совпадают.

 

Отсюда следует, что, вместо того чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое неравенство (уравнение), равносильное данному. Замена одного неравенства (уравнения) другим равносильным данному на множестве , называется равносильным переходом на . Равносильный переход обозначают двойной стрелкой .

 

Если уравнение равносильно уравнению , в этом случае мы будем обозначать

  .

Обычно под множеством , на котором производятся равносильные преобразования, всегда будет подразумеваться ОДЗ.

 

Если же все корни уравнения являются корнями  (при этом ОДЗ обоих уравнений могут не совпадать), то второе уравнение называют следствием первого. В этом случае пишут .

 

При решении уравнений в основном используются два способа.

 

Первый способ заключается в том, что выполняются равносильные преобразования. Преобразования осуществляются до тех пор, пока уравнение не примет простой вид.

 

Второй способ состоит в замене исходного уравнения его следствием, (такое преобразование может быть проделано несколько раз). При этом возможно приобретение посторонних корней, поэтому при втором способе решения на последнем этапе необходимо выполнить проверку полученных решений.