Рассмотрим плоское потенциальное течение. Так как у него только две составляющие скорости V_x и V_y, то для нахождения потенциала скорости имеем два равенства $V_{x} = \frac{\partial φ}{\partial x}, V_{y} = \frac{\partial φ}{\partial y} .$

Уравнение неразрывности для любых потоков несжимаемой жидкости записывается в виде $div \bar{V} = 0 .$

Так как жидкость несжимаемая, то при ее течении не могут образовываться пустоты. Поэтому критерий несжимаемости одновременно служит и критерием неразрывности потока. Из уравнения неразрывности следует:

$div \bar{V} = \frac{\partial V_{x}}{\partial x} + \frac{\partial V_{y}}{\partial y} = 0, или \frac{\partial V_{x}}{\partial x} = - \frac{\partial V_{y}}{\partial y} .$

Благодаря этому дополнительному условию на производные от скорости в плоскопараллельном движении несжимаемой жидкости существует еще одна функция, которая облегчает нахождение скоростей в потоке. Ее называют функцией тока и обозначают греческой буквой ψ (пси). Ее определяют как скалярную функцию, у которой производные обладают свойствами $\frac{\partial ψ}{\partial x} = - V_{y}, \frac{\partial ψ}{\partial y} = V_{x} .$

Таким образом, для плоского потенциального течения компоненты скорости можно выражать либо через потенциал φ, либо через функцию тока ψ. Если вместо компонент скорости подставить их выражение через функцию тока в условие безвихревого плоского движения, то получим опять уравнение Лапласа, но для ψ.

Свойства функции тока Перечислим свойства функции тока:

Если функция тока известна, то легко найти для каждой точки потока компоненты скорости.
В любой точке потока вектор grad ψ перпендикулярен вектору скорости (рис. 48).

Рис. 48. Направления вектора-градиента функции тока и вектора скорости

Дополнительно. Доказательство.

Физически градиент есть вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется с максимальной скоростью.

Вектор-градиент функции ψ имеет составляющие $\frac{\partial ψ}{\partial x} и \frac{\partial ψ}{\partial y}$ , которые равны согласно определению функции тока –V_y и V_x. Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Вычислим скалярное произведение:

$(\bar{V} \cdot gradψ) = V_{x} \cdot (- V_{y}) + V_{y} \cdot V_{x} = 0.$

Таким образом, вектор-градиент функции тока перпендикулярен направлению скорости в данной точке потока.

Вдоль линии тока значение функции тока не меняется. С этим свойством связано и происхождение названия функции тока.
Дополнительно. Доказательство.
Действительно, в любой точке на линии тока проекция вектора grad ψ на касательное направление к этой линии будет равна нулю, так как вектор-градиент перпендикулярен вектору, а последний направлен по касательной к линии тока. А это значит, что ψ не меняется в направлении линии тока.
Самое важное свойство для определения расхода жидкости. Разность между значениями функции тока в 2 точках равна объему жидкости, протекающему в единицу времени между этими точками и рассчитанному на единицу высоты между ними, т.е. секундному расходу жидкости (без доказательства) (рис. 49): Q= ψ_B – ψ_A_.