1. Определить режим движения воды в трубопроводе, если заданы диаметр d (см), скорость движения воды V (м/с) и температура (Т ºС) воды (табл. 1).

Как изменяется число Рейнольдса при увеличении скорости течения?

Как изменяется число Рейнольдса при увеличении температуры воды?

2. Вычислить максимальный расход воды при температуре Т ºС в трубопроводе диаметром d (мм), обеспечивающий устойчивый ламинарный режим. Примечание: размерности привести в соответствие.
3. Построить кривую распределения скоростей (эпюру скоростей) по живому сечению трубопровода диаметром d (мм) при известной скорости на оси трубы (рис. 1):
   • при ламинарном режиме течения;
   • при турбулентном режиме течения по формуле закона «1/7».



Эпюру рекомендуется строить с шагом 0,1R.

4. Вычислить касательные напряжения и силу поверхностного трения на внутренней стенке трубы диаметром d (мм) и длиной l (м), если движение ламинарное со скоростью на оси трубы V_max.

Таблица 1. Варианты заданий

Справочные сведения

1. Число Рейнольдса для круглых труб вычисляется по формуле

   $$\mathrm{Re}=\frac{V\cdot d}{\nu }$$

   (1)

   где V – средняя скорость потока, d – диаметр трубы, ν – кинематический коэффициент вязкости.
2. В ламинарном потоке средняя скорость равна половине максимальной:

Vсред=½Vmax.

(2)

3. При ламинарном режиме распределение скорости по поперечному сечению трубы происходит по параболическому закону

   V=Vmax(1–r2/R2).

   (3)

   При турбулентном режиме распределение скорости по поперечному сечению трубы рекомендуется рассчитывать по формуле закона «1/7»:

   V=Vmax(1–r/R)1/7.

   (4)

4. Касательные напряжения ламинарного потока в круглой трубе рассчитываются по формуле: $\text{τ=μ}\left|\frac{dV}{dr}\right|$ , где μ – коэффициент динамической вязкости, dr – приращение радиуса.
5. Величина силы поверхностного трения на стенке трубы рассчитывается по формуле F=τS, где S – площадь поверхности.

Таблица 2.  Зависимость коэффициента

кинематической вязкости воды

и плотности от температуры

 

Пример решения

1. Вычисления будем проводить для данных варианта 1. Для определения числа Рейнольдса подставляем в формулу (1) числовые данные V=0,1 м/с, d=0,005 м, ν=0,000001306 м²/с (коэффициента кинематической вязкости находим из табл. 2 при температуре 10 ºС). Получим ответ Re=3828,5. Сравниваем полученное значение Re с критическим для круглых труб (2320), делаем вывод, что режим течения – турбулентный.
2. Ламинарный режим течения реализуется в круглых трубах при Re < 2320. Задаваясь для устойчивости значительно меньшим значением числа Рейнольдса, можем определить, используя формулу (1), среднюю скорость потока, а затем вычислить максимальную скорость из соотношения, справедливого для ламинарного потока в круглых трубах (2).

Максимальная скорость воды при температуре Т=30 ºС в трубе с d =20 мм при Re=1000 будет равна V_сред=ν·Re/d=0,00000805 м²/c·1000/0,02 м = 0,4 м/с. Следовательно, максимальная скорость потока при заданных условиях будет равна 0,8 м/с.

3. Вычисление скоростей осуществляем по формулам (3) и (4). Расчет удобнее вести в табличной форме, например в таком виде:

 

r/R	0	0,2	0,4	0,6	0,8	0,9	1
Vлам, м/с	3,00	2,79	2,52	1,92	1,08	0,57	0
Vтурб, м/с	3,00	2,90	2,87	2,63	2,38	2,16	0

Для построения эпюры скоростей разбиваем радиус на части согласно таблице и  откладываем в горизонтальном направлении полученные скорости (рис. 2).



 

4. Касательные напряжения для ламинарных течений рассчитываем по формуле $\text{τ=μ}\left|\frac{d\overline{V}}{dn}\right|$ , где μ – коэффициент динамической вязкости, | |– символ модуля, n – нормаль к поверхности трубопровода. В нашем случае нормаль совпадает с направлением r. Запишем в конечно-разностном виде формулу для касательных напряжений между внутренней поверхностью трубы и ближайшим слоем жидкости с текущим радиусом r = 0,9R. Припишем индекс 1 нижнему слою из двух соседних (вода), 2 – верхнему (стенка). Тогда формула для расчета касательного напряжения преобразуется к виду:$\text{τ=μ}\left|\frac{V_2-V_1}{y_2-y_1}\right|=\text{μ}\frac{\left|V_2-V_1\right|}{\mathrm{0,1}\mathrm{R. }}$

   На стенке скорость частиц воды равна нулю (V₂= 0), a скорость воды в слое с текущей координатой r = 0,9R рассчитываем аналогично предыдущему пункту по формуле V= V_max(1–r²/R²) и получаем V₁=0,019 м/с. Коэффициент динамической вязкости возьмем из табл. 2, радиус трубы выразим в метрах R = 0,01 м. После подстановки числовых значений получим τ =(0,00131 н·с/м²·1,019 м/с)/0,001 м = 1,33 н/м².

   Чтобы найти силу поверхностного трения на внутренней стенке трубы, надо напряжение умножить на площадь поверхности соприкосновения стенки с водой. Вычислим площадь по формуле S = 2πR·l и рассчитаем силу трения F=1,33 н/м²·2·3,14·0,01 м·5 м= 0,4