1. Задано поле скоростей (п. 1 таблицы):

A. Является ли движение жидкости установившимся?

B. Является ли движение жидкости потенциальным?

C. Можно ли утверждать, что жидкость, движущаяся с заданными скоростями, является несжимаемой?

 

2. Исследовать плоское потенциальное течение жидкости по следующему плану:

Задана функция φ(x,y) (п. 2 таблицы). Выяснить, может ли она быть потенциалом скорости движущейся жидкости. Если φ(x,y) является потенциальной функцией, то исследовать форму потока. Для этого найти уравнение линии тока и нарисовать в декартовой системе координат 5 линий тока течения, заданного своим потенциалом скорости.

 

Таблица. Варианты заданий к практической работе № 2

№ варианта	Данные к пункту 1	Данные к пункту 2
1	$$\overline{V}=(z+y)\overline{i}+2xz\overline{j}+3x^{2}y\overline{k}$$	φ = x + 4y
2	$$\overline{V}=\frac{y}{z}\overline{i}+\frac{2z}{x}\overline{j}+\frac{2x}{y}z\overline{k}$$	φ = x + 2y
3	$$$$ $$\overline{V}=\left(2xy+z^2\right)\overline{i}+\left(2yz+x^2\right)\overline{j}+\left(2zx+y^2\right)\overline{k}$$	φ = 2x + 4y
4	$$\overline{V}=\frac{y}{x}\overline{i}+\frac{x}{z}\overline{j}-\frac{1}{z^2}y\overline{k}$$	φ = –3x + 4y
5	$$\stackrel{}{}$$ $$\overline{V}=\frac{1}{x^2}\overline{i}+\frac{1}{y^2}\overline{j}+\frac{1}{z^2}\overline{k}$$	φ = –y + 2x
6	$$\overline{V}=x\left(2z-x\right)\overline{i}+y\left(2x-y\right)\overline{j}+z\left(2y-z\right)\overline{k}$$	φ = 2x – 4y
7	$$\overline{V}=\frac{2x}{z}\overline{i}-\frac{2y}{z}\overline{j}+\frac{2z}{x}\overline{k}$$	φ = – 3y  – 2x
8	$$\overline{V}=\frac{x+y}{z}\overline{i}+\frac{y+z}{x}\overline{j}+\frac{x+z}{y}\overline{k}$$	φ = –y + 5x
9	$$\overline{V}=\left(2xy+1\right)\overline{i}+\left(2yz+5\right)\overline{j}+\left(2zx+3\right)\overline{k}$$	φ = 3y – 5x
10	$$\overline{V}=\frac{2y}{z}\overline{i}-\frac{x+y}{4z}\overline{j}+xyz\overline{k}$$	φ = x + y

Справочные сведения

1. Уравнение линии тока $\frac{dx}{V_x^{}}=\frac{dy}{V_y}=\frac{dz}{V_z}$
2. Уравнение траектории получается из решения системы уравнений: $$\frac{dx}{dt}=V_x,\frac{dy}{dt}=V_y,\frac{dz}{dt}=V_z$$
3. Условием потенциальности потока является равенство нулю составляющих вихря скорости:

   $$\frac{\partial V_z}{\partial y}-\frac{\partial V_y}{\partial z}=\mathrm{0,}{{\displaystyle }}_{}\frac{\partial V_x}{\partial z}-\frac{\partial V_z}{\partial x}=\mathrm{0,}{{\displaystyle }}_{}\frac{\partial Vy}{\partial x}-\frac{\partial V_x}{\partial y}=0$$	(1)

4. Условием несжимаемости жидкости является выполнение уравнения неразрывности divV=0:

   $$\frac{\partial V_x}{\partial x}+\frac{\partial V_y}{\partial y}+\frac{\partial V_z}{\partial z}=0$$	(2)

Пример выполнения работы

1а. В установившемся (стационарном) движении скорость не зависит от времени, поэтому достаточно проверить, есть ли в выражении скорости переменная t  – время.

1б. Чтобы проверить, является ли движение жидкости потенциальным, надо вычислить компоненты вихря по формулам (1). Если они равны нулю, то течение потенциальное.

По данным варианта 1 составляющие скорости имеют вид: V_x= z + y, V_y= 2xz, V_z= 3x²y. Вычислим компоненты вихря и получим  3x²–2x ≠ 0, 1–6xy ≠ 0, 2z–1≠ 0. Таким образом, движение является вихревым, т.е. не потенциальным.

1с. Подставим составляющие скорости по данным варианта 1 в уравнение неразрывности несжимаемой жидкости (2) и получим тождественный нуль. Таким образом, жидкость, движущаяся с данной скоростью, является несжимаемой.

2. Чтобы проверить, может ли функция быть потенциалом какого-либо движения, надо подставить ее в уравнение Лапласа:

$$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial z^2}=0.$$

Если правая часть после подстановки обращается в нуль, то ответ положительный. Например, у функции φ = y + 2x, то ее вторые производные равны нулю, поэтому она является потенциальной функцией.

Чтобы построить линии тока, надо найти их уравнение. Определим вначале составляющие скорости заданного потенциального движения по формулам:

$$V_x^{}=\frac{\partial \phi }{\partial x}\text{, }{V}_y=\frac{\partial \phi }{\partial y}\text{. }$$

 

 

Для потенциала скорости φ = y + 2x составляющие скорости после дифференцирования получатся равными: V_x = 2, V_y =1

Подставим их в общий вид уравнения лини тока для плоского течения $$\frac{dx}{V_x}=\frac{dy}{V_y}\text{,}$$

 и получим dy = ½ dx или у = ½ x + с. Подставляя в последнее уравнение различные значения константы интегрирования с, получим семейство линий тока. Это семейство прямых линий, расположенных  под углом 26º к оси Ох.