Если тело бросить под углом к горизонту, то в полёте на него действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, направленная против движения, при малых скоростях её можно считать пропорциональной скорости $F_{\text{сопр}}=-k\text{v}$. Если силой сопротивления пренебречь, то остаётся единственная сила – сила тяжести. Поэтому вследствие второго закона Ньютона тело движется с ускорением свободного падения g, направленным вертикально вниз и имеющим нулевую горизонтальную составляющую. Таким образом, движение тела можно представить как наложение двух независимых движений: равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси Х) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (оси Y).

Проекции скорости тела изменяются со временем следующим образом:

 $\begin{array}{l}{\text{v}}_x={\text{v}}_{x0}={\text{v}}_0\cos \alpha ,\\ {\text{v}}_y={\text{v}}_{y0}-gt={\text{v}}_0\sin \text{α}-gt,\end{array}$

где v_о – начальная скорость, а $\text{α}$ – угол бросания.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

$$\begin{array}{}\end{array}$$$\begin{array}{l}\text{x}={\text{x}}_0+{\text{v}}_{0}t\cos \text{α},\\ \text{y}={\text{y}}_0+{\text{v}}_{0}t\sin \text{α}-\frac{1}{2}g{t}^2.\end{array}$

При нашем выборе начала координат начальные координаты $x_0=y_0=0.$

 Тогда

$\begin{array}{l}\text{x}={\text{v}}_{0}t\cos \text{α},\\ \text{y}={\text{v}}_{0}t\sin \text{α}-\frac{1}{2}g{t}^2.\end{array}$

(1)

Проанализируем формулы (1). Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, так как в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полёта

$t_0=\frac{2{\text{v}}_0\sin \text{α}}{g}$.$\begin{array}{l}\end{array}$

(2)

Дальность полёта – это значение координаты х в конце полёта, т.е. в момент времени, равный t₀. Подставляя значение (2) в первую формулу (1), получаем:

$l=\frac{{\text{v}}_0^2\sin 2\text{α}}{g}$. $\begin{array}{l}\end{array}$

(3)

Из этой формулы видно, что наибольшая дальность полёта достигается при значении угла бросания, равном 45 градусов.

Наибольшую высоту подъёма брошенного тела можно получить из второй формулы (1). Для этого нужно подставить в эту формулу значение времени, равное половине времени полёта (2), так как именно в средней точке траектории высота полёта максимальна. Проводя вычисления, получаем

$\begin{array}{l}\end{array}$$h=\frac{{\text{v}}_0^2{\sin }^2\text{α}}{2g}$.

(4)

Из уравнений (1) можно получить уравнение траектории тела, т.е. уравнение, связывающее координаты х и у тела во время движения. Для этого нужно из первого уравнения (1) выразить время: $t=\frac{x}{{\text{v}}_0\cos \text{α}}$

 и подставить его во второе уравнение. Получим уравнение

$y=x\text{tgα}-\frac{g}{2{\text{v}}_0^2{\cos }^2\text{α}}{x}^2$.

Это уравнение параболы, расположенной ветвями вниз.

При действии силы сопротивления траектория движения частицы изменяется: уменьшаются горизонтальная дальность и высота полёта, нисходящий участок траектории становится круче восходящего и т.д. Для рассмотрения этой задачи применяется динамический метод моделирования, проекции ускорения частицы на координатные оси имеют следующий вид:

$\begin{array}{l}{a}_x=-\frac{k{\text{v}}_x}{m},\\ a_y=-g-\frac{k{\text{v}}_y}{m}.\end{array}$

Проекции скорости и координаты частицы пересчитываются на каждом временном шаге обычным методом Эйлера.

На рисунке изображён кадр из данного компьютерного эксперимента. Начальная скорость, угол бросания, коэффициент сопротивления и масса устанавливаются при помощи ползунков. Кнопки «пуск» и «стоп» одновременно запускают частицы и секундомер. Горизонтальную дальность и высоту полёта можно измерить при помощи линеек. Линейку можно перемещать в нужное место, для этого следует поставить мышку в соответствующую точку рабочего поля и нажать левую кнопку.

Компьютерная программа данного эксперимента помещена в приложении.