Если частица находится в произвольном электромагнитном поле, то на неё со стороны поля действует сила Лоренца:

$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}+q[\overrightarrow{\text{v}}\text{,}\overrightarrow{B}]$, 

где q – заряд частицы, $\overrightarrow{E}$ и $\overrightarrow{B}$ – напряжённость электрического и индукция магнитного поля, а $\overrightarrow{\text{v}}$ – скорость движения частицы в данной системе отсчёта. Рассмотрим задачу о движении частицы в стационарном поле, силовые характеристики которого от времени не зависят. Если при этом вектор индукции магнитного поля $\overrightarrow{B}$направлен по одной из координатных осей (например, по оси Oz), то магнитная составляющая силы Лоренца перпендикулярна этой оси. Если при этом вектор $\overrightarrow{E}$и начальная скорость частицы перпендикулярны вектору $\overrightarrow{B}$, то тогда движение частицы является плоским и происходит в плоскости хОу, перпендикулярной вектору индукции $\overrightarrow{B}$.

Пусть вектор напряжённости электрического поля $\overrightarrow{E}$направлен вдоль оси Оу, тогда проекции силы на координатные оси равны

$$\begin{array}{l}{F}_x=q{\text{v}}_{y}B\\ F_y=q\{E-{\text{v}}_{x}B\}\end{array}$$

После задания проекций силы как функций проекций скорости решается система уравнений Ньютона методом Эйлера для каждой проекции. Компоненты вектора ускорения а_х и а_у вычисляются по известным проекциям силы, причём на каждом шаге в эти формулы подставляются новые значения проекций скорости движущейся частицы.

При нулевой начальной скорости частицы её движение будет происходить по циклоиде, при отличной от нуля начальной скорости – по трохоиде. Кадр из данного компьютерного эксперимента приведён на рисунке. Программа данного компьютерного эксперимента на языке Delphi дана в приложении.

Если частица влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно силовым линиям, то выражения для проекций силы примут вид:

$\begin{array}{l}{F}_x=q{\text{v}}_{y}B\\ F_y=-q{\text{v}}_{x}B\end{array}$,

а величина силы Лоренца равна $F=q\text{v}B$, причём сила перпендикулярна направлению скорости частицы. Эта сила сообщает частице нормальное ускорение, тогда 2-й закон Ньютона примет вид:

$m\frac{{\text{v}}^2}{R}=q\text{v}B$.

Отсюда следует, что частица в магнитном поле будет двигаться по окружности, причём радиус окружности равен $R=\frac{m\text{v}}{qB}$, а время одного оборота равно

$T=\frac{2\text{π}R}{\text{v}}=\frac{2\text{π}m}{qB}$.

Таким образом, период обращения частицы по окружности не зависит от её скорости, а зависит лишь от удельного заряда частицы.

На этом основан принцип действия циклотрона – устройства для ускорения заряженных частиц. Циклотрон представляет собой вакуумную цилиндрическую камеру, помещённую в магнитное поле, силовые линии которого параллельны оси цилиндра. Каждая частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Магнитное поле не ускоряет частицу, а лишь искривляет траекторию её движения вследствие того, что сила Лоренца, будучи перпендикулярна скорости, не совершает работы и не изменяет кинетической энергии частицы. Частицы движутся каждая по своей окружности, причём их радиусы различны из-за отличия их скоростей. Однако период их обращения одинаков. Спустя время Т частицы пролетают через ускоряющие электроды – дуанты, и в этот момент включается сильное электрическое поле, которое одновременно немного увеличивает скорость всех частиц. После однократного ускорения частицы движутся по окружности большего радиуса, однако с тем же периодом обращения, и через время Т они ускоряются ещё раз и т.д., пока радиус их траектории сравняется с радиусом камеры ускорителя, после чего специальное устройство выводит их на мишень.

Кадр из этого компьютерного эксперимента приведён на рисунке, а компьютерная программа на языке Visual Basic дана в приложении.