Рассмотрим ферромагнетик в рамках простой модели взаимодействия – модели Изинга. Эта модель была создана в 1924 году Ленцем для описания переходов ферромагнетик – парамагнетик, а затем применена при исследованиях других фазовых превращений в твёрдых телах. Модель Изинга представляет собой модель недеформируемой кристаллической решётки, на узлах которой размещены несколько (в первоначальном варианте 2) сортов атомов. Для магнетика это 2 возможных направления магнитных моментов (условно говоря, магнитный момент вверх и магнитный момент вниз). Обычно учитывается взаимодействие только ближайших соседей, хотя существуют обобщения и для более сложных случаев.

Главной особенностью ферромагнетиков является спонтанная намагниченность: ферромагнетик уже намагничен в отсутствие внешнего магнитного поля. Это связано с тем, что энергия взаимодействия соседних атомов ферромагнетика зависит от взаимной ориентации их магнитных моментов: если они направлены одинаково, то эта энергия меньше, а если противоположно, то больше. На языке сил можно сказать, что между магнитными моментами действуют короткодействующие силы, которые стараются заставить соседний атом иметь такое же направление магнитного момента, как и у самого данного атома. В большинстве ферромагнетиков это обменные силы, являющиеся следствием квантовомеханического принципа тождественности, но в модели Изинга их природа безразлична.

Спонтанная намагниченность ферромагнетика постепенно уменьшается с ростом температуры и при некоторой критической температуре – точке Кюри – становится равной нулю, при более высоких температурах ферромагнетик ведёт себя в магнитном поле подобно парамагнетику. Таким образом, в точке Кюри происходит переход из ферромагнитного в парамагнитное состояние, который является фазовым переходом второго рода и возникает без скачка спонтанной намагниченности и с отсутствием скрытой теплоты перехода.     

Рассмотрим магнетик в двумерной решётке Изинга, на узлах которой могут размещаться магнитные моменты. Пусть узлы образуют квадратную решётку. Магнитные моменты, направленные вверх, обозначим А, а вниз – B. Число магнитных моментов, направленных вверх, равно N_A, а вниз – N_B, полное число моментов равно N. Ясно, что

NА + NВ = N.

(1)

Число независимых способов, которыми можно разместить N_A моментов сорта А и N_B   моментов сорта В по N узлам,  равно

$W=\frac{N!}{N_A!N_B!}$.

Эта величина является статистическим весом макросостояния с данной намагниченностью.

Здесь сделано приближение (Брэгга – Вильямса), согласно которому значение магнитного момента на узле решётки не зависит от того, какие магнитные моменты находятся на соседних узлах, т.е. это приближение не учитывает корреляции в расположении моментов. Это приближение родственно модели неидеального газа Ван-дер-Ваальса: реальное взаимодействие частиц друг с другом здесь заменяется некоторым усреднённым силовым полем, которое создают сами взаимодействующие частицы.

Если применить формулу Стирлинга  ln N! ≈ N (ln N –1), справедливую для больших N, и ввести вероятность появления магнитного момента “вверх” и “вниз”: $p_A=\frac{N_A}{N}$ и $p_B=\frac{N_B}{N}$, то выражение для энтропии запишется: S = – k N (p_A ln p_A + p_B ln p_B).

Если ввести параметр дальнего порядка η = (р_А – р_В), то получим:

$S=-\frac{kN}{2}\left\{\left(1+\eta \right)\ln \left(1+\eta \right)+\left(1-\eta \right)\ln \left(1-\eta \right)\right\}$.

(2)

Выясним физический смысл параметра дальнего порядка η. Намагниченность магнетика М определяется в нашей модели избытком атомов с одной из двух возможных ориентаций, и она равна

М = μ N_A – μ N_B = N μ (р_A – р_B) = N μ η,

где μ – магнитный момент атома. Тогда η = М / М_max, где М_max = N μ – максимальная намагниченность, достигаемая при параллельной ориентации всех моментов. То есть η – относительная намагниченность, и она может изменяться в пределах от –1 до +1. При этом отрицательные значения η говорят о направлении преимущественной ориентации магнитных моментов, а при отсутствии внешнего поля значения +η и –η эквивалентны.

Атомы взаимодействуют друг с другом лишь на достаточно малых расстояниях. Предположим, что взаимодействуют только соседние атомы, причём каждый атом имеет z ближайших соседей. Пусть энергия взаимодействия двух атомов с одинаково направленными магнитными моментами равна –V, а с противоположно направленными +V. Внешнее поле Н = 0.

Если не учитывать корреляции в расположении атомов, то энергия взаимодействия магнитного момента “вверх” со своим ближайшим окружением (т.е. с z p_A моментами “вверх” и с z p_B моментами “вниз”) в нашей модели равна –V z (p_A – p_B). Аналогичная величина для атома с моментом “вниз” равна V z (p_A – p_B). Тогда энергия магнетика равна

$U=\frac{1}{2}\left\{N_A\left[-Vz\left(p_A-p_B\right)\right]+N_B\left[Vz\left(p_A-p_B\right)\right]\right\}$,

где множитель $\frac{1}{2}$ появился для того, чтобы взаимодействие соседних атомов друг с другом не учитывать дважды. Выражая N_A и N_B через вероятности, получим:

         $U=-\frac{1}{2}NVz{\left(p_A-p_B\right)}^2=-\frac{1}{2}NVz{\text{η}}^2$.

В равновесной системе при постоянных объёме и температуре достигает экстремального (минимального) значения свободная энергия Гельмгольца:

$F=U-TS=-\frac{zNV{\text{η}}^2}{2}-\frac{NkT}{2}\left\{\left(1+\text{η}\right)\ln \left(1+\text{η}\right)+\left(1-\text{η}\right)\ln \left(1-\text{η}\right)\right\}$

(3)

Исследуем функцию (3) на экстремум, взяв производную по η и приравняв её к нулю.  Условие равновесия примет вид:

$\ln \frac{1+\text{η}}{1-\text{η}}=\frac{2\text{η}}{\text{τ}}$,

(4)

где $\text{τ}=\frac{kT}{zV}$ – безразмерная величина, имеющая размерность температуры.

Рис. 1

Уравнение (4) можно решить графически. Для этого построим графики функций F₁ и F₂, стоящих в левой и правой частях уравнения (рис. 1). Функция F₁ не зависит от параметра τ, её график представляет собой кривую с двумя вертикальными асимптотами при  значениях η = ±1. Функция является монотонно возрастающей, нечётной, её производная в начале координат F₁'(0) = 2.

График функции F₂ – это прямая, проходящая через начало координат, тангенс угла наклона равен 2 / τ .

 Если τ > 1, то 2 /τ < F₁'(0); тогда кривые пересекаются только в начале координат, и уравнение имеет единственное решение η = 0. При  τ < 1 уравнение имеет 3 решения, одно из них по-прежнему нулевое, а два других отличаются знаком.

При τ < 1 нулевое решение соответствует максимуму свободной энергии, а состоянию термодинамического равновесия соответствуют ненулевые решения. Эти решения получаются друг из друга заменой местами атомов А и В (т.е. моментов “вверх” и “вниз”), оба они описывают фактически одно и то же состояние. При τ = 1 получим значение температуры, разделяющей два типа решений уравнения (4), при этом температура равна Т_c = z V / k. Эта температура называется точкой Кюри.

Рис. 2

При низких температурах магнетик существует в ферромагнитном состоянии, при высоких – в парамагнитном. Этот переход является фазовым переходом второго рода, параметр порядка η постепенно уменьшается с увеличением температуры и в критической точке становится равным нулю (рис. 2).

При учёте взаимодействия с магнитным полем в выражение для свободной энергии (3) добавится слагаемое –ημNН (считаем, что поле направлено “вверх”). Общий случай ферромагнетика в магнитном поле аналитически рассмотреть довольно трудно, мы ограничимся парамагнетиком (энергия взаимодействия V = 0) и ферромагнетиком выше точки Кюри.

В первом случае свободная энергия (3) запишется

$F=-\text{μ}NH\text{η}-\frac{NkT}{2}\left\{\left(1+\text{η}\right)\ln \left(1+\text{η}\right)+\left(1-\text{η}\right)\ln \left(1-\text{η}\right)\right\}$,

где m – магнитный момент атома, а  уравнение равновесия примет вид

$kT\ln \frac{1+\text{η}}{1-\text{η}}=\text{μ}H$.

(5)

Ограничимся случаем слабого намагничивания, которое наблюдается при высоких температурах и слабых магнитных полях. Если η << 1, то можно разложить (5) в ряд, ограничиваясь линейными членами, т.е. ln (1+η) ≈ η. Тогда 2 kT η = μН, и намагниченность М = N μ η = {Nm²/(2kT)} H, т.е. парамагнитная восприимчивость

$\text{χ}=\frac{N{\text{μ}}^2}{2kT}$.

(6)

Таким образом, восприимчивость парамагнетика в полном соответствии с законом Кюри обратно пропорциональна абсолютной температуре.

Для ферромагнетика во внешнем поле уравнение равновесия примет вид:

$kT\ln \frac{1+\text{η}}{1-\text{η}}=\text{μ}H+2\text{η}k{T}_C$.

(7)

При Т >> Т_с  в достаточно слабых полях η << 1, как и в обычном парамагнетике, и тогда

$\text{χ}=\frac{N{\text{μ}}^2}{2k(T-T_C)}$,

т.е. выполняется закон Кюри – Вейсса.

В рамках данной модели можно предложить несколько простых компьютерных экспериментов: модель парамагнетика в магнитном поле, модель ферромагнетика в отсутствие поля и наконец самую общую задачу о ферромагнетике в магнитном поле.

В первой задаче необходимо решить уравнение (5). Это уравнение легко решается при помощи потенцирования:

$\text{η}=\frac{e^{\frac{\text{μ}H}{kT}}-1}{e^{\frac{\text{μ}H}{kT}}+1}$.

(8)

Для малых полей и высоких температур (т.е. для μН << kT) путём разложения этого выражения по малому параметру легко получается формула для магнитной восприимчивости (6).

Для наглядной визуализации данной задачи следует изобразить структуру парамагнетика как совокупность кружков 2 разных окрасок, одна из которых соответствует направлению магнитного момента вверх, а другая – вниз. По значению η, определённому из (8), следует найти число атомов, магнитные моменты которых направлены вверх (N_­↑) и вниз, затем случайным образом окрасить в соответствующие цвета эти кружки. Температуру и напряжённость поля перед выполнением эксперимента следует задавать как параметры через соответствующие окна, при этом единицы измерения этих величин могут быть произвольными, поскольку результат зависит от отношения $\frac{\text{μ}H}{kT}$. В ходе выполнения данного эксперимента можно пронаблюдать:

1)  зависимость относительной намагниченности η от напряжённости магнитного поля при низких температурах (кривая имеет насыщение);

2)  зависимость относительной намагниченности η от напряжённости магнитного поля при достаточно высоких температурах (она должна быть линейной);

3)  зависимость магнитной восприимчивости при высоких температурах от обратной температуры (она должна быть линейной – закон Кюри).

Для изучения спонтанной намагниченности ферромагнетика в отсутствие магнитного поля необходимо решить уравнение (4) для произвольной приведённой температуры τ < 1 и таким образом изучить зависимость η(τ). Температуру τ и относительную намагниченность η следует  выводить в окнах, а для визуализации задачи необходимо, как в предыдущем случае, определить числа N₁ и N₂ и распределить случайным образом по узлам квадратной решётки соответствующее число кружков разного цвета.

Для решения третьей задачи необходимо вместо уравнения (4) решить несколько более сложное уравнение (7). Эти уравнения решаются численно, для их решения вполне подходит метод деления отрезка пополам (см., например: [4, с. 86–91]). Отметим, что для уравнения (4) всегда есть тривиальное решение η = 0, которое при температурах τ < 1 не описывает устойчивого состояния вещества, поэтому искать физически обоснованное решение следует на отрезке от какого-то малого значения e до единицы.

Для уравнения (7) из рис. 1 можно понять, что прямая для этого случая будет проходить выше начала координат при положительном Н и ниже при отрицательном (отрицательное значение Н соответствует изменению направления магнитного поля). Поэтому уравнение всегда будет иметь лишь один корень (0 < η < 1 при Н > 0 и –1 < η < 0 при Н < 0), который можно определить тем же методом. Отметим, что при помощи этого метода можно рассмотреть только гомогенное состояние магнетика, которое в реальности при наличии небольшого магнитного поля в большинстве случаев является метастабильным, а стабильным является гетерогенное состояние магнетика в виде большого числа небольших по размеру макроскопических областей однородного намагничивания – магнитных доменов.

Для изучения поведения магнетика в магнитном поле рекомендуется выполнить следующие упражнения:

1. Изучение спонтанной (т.е. при Н = 0) намагниченности ферромагнетика ниже точки Кюри.

2. Изучение намагниченности парамагнетика во внешнем магнитном поле.

3. Изучение намагниченности ферромагнетика при температурах выше точки Кюри.

4. Изучение намагниченности ферромагнетика во внешнем магнитном поле.

5. Рассмотреть все аналогичные задачи в теории Ланжевена для парамагнетиков и теории Вейсса для ферромагнетиков. Эти теории изложены во многих книгах по общей физике, например, в [5, с. 314–319, 324–332]. Эти теории приводят примерно к таким же уравнениям и, соответственно, к таким же результатам, что и изложенные выше в этом параграфе. 

 

Рис. 3

На рис. 3 приведён кадр из компьютерного эксперимента по изучению зависимости спонтанной намагниченности ферромагнетика от температуры. Атомы с разными направлениями магнитных моментов изображены кружками разных цветов, приведённая температура вводится в одно из текстовых окон. Компьютерная программа этого эксперимента на языке Visual Basic приведена в приложении.