Точка ${\overrightarrow{x}}^{\ast }\in D$ называется угловой точкой или вершиной области ограничений ЗЛП (2.5.1)-(2.5.2), если не существует отрезка, принадлежащего D, для которого эта точка является внутренней. Любая вершина области ограничений ЗЛП называется опорным планом.

Теорема о решении ЗЛП. Справедливы следующие утверждения:

1) решение ЗЛП (2.5.1)-(2.5.2) достигается в одной или сразу в нескольких вершинах области ограничений D;

2) если решение ЗЛП достигается сразу в нескольких вершинах области ограничений, то тогда любая точка, являющаяся выпуклой линейной комбинацией этих вершин, также является решением, т.е. оптимальным планом этой задачи.

Теорема о вершине. Для того чтобы точка $\overrightarrow{x}$ была вершиной области ограничений ЗЛП в канонической форме представления

$$f(\overrightarrow{x})={\overrightarrow{c}}^T\overrightarrow{x}\to \max (\min );\{\begin{array}{l}A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b},\\ \overrightarrow{x}\ge \mathrm{0,}\end{array}$$

необходимо и достаточно, чтобы эта точка была решением СЛУ $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$, в котором все свободные переменные равны нулю, а базисные – неотрицательны.

Опорный план канонической ЗЛП называется невырожденным, если число его ненулевых компонент равно числу уравнений в системе ограничений этой задачи. В противном случае опорный план называется вырожденным.