1. Случайный процесс ξ(t) принимает два значения: +1 и –1. Число перемен знаков за время t подчиняется распределению Пуассона с параметром μ. В начальный момент времени оба значения равновероятны. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции этого процесса и определить, является ли этот процесс стационарным.

2. Случайный процесс ξ(t) состоит из горизонтальных отрезков единичной длины, ординаты которых независимые случайные величины с плотностью . Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса ξ(t). Определить, является ли данный процесс стационарным, по крайней мере в широком смысле.

3. U и V – независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале [α,b] и [c,δ] соответственно. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса S(t)=U+Vt. Является ли этот процесс стационарным?

4. Случайный процесс задан в виде ξ(t)=Ucosat+Vsinat, где α – неслучайная величина, U и V – некоррелированные случайные величины, равномерно распределенные в интервале [–1,1] и [–2,2] соответственно. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции данного процесса. Является ли данный процесс стационарным?

5. Найти функцию ковариации процесса ввиде η(t)=ξ(t)cos(Bt+ɸ), , где B – неслучайная величина, ξ(t) – стационарный случайный процесс с математическим ожиданием μ и функцией ковариации K(τ), ɸ – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,2π], ξ(t) и ɸ – независимые. Является ли этот процесс стационарным?

6. Найти функцию взаимной ковариации процесса и его второй производной, если процесс ξ(t) имеет математическое ожидание, равное αt, и функцию ковариации K_ξ(t,σ)=ε^-(t+σ).

7. Пусть η₁(t) и η₂(t) – независимые случайные процессы с корреляционными функциями R₁(t,σ) и R₂(t,σ) соответственно. Найти корреляционную функцию процесса ξ(t)= η₁(t)η₂(t).

8. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции случайного процесса η(t)=Xcos(t+Y), где X имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, Y – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,2π].

9. Пусть η – нормальная случайная величина с функцией распределения . Найти двумерное распределение случайного процесса ξ(t)=η+t, где t∈R.

10. U и V – независимые случайные величины, распределенные по экспоненциальному закону с параметрами λ₁ и λ₂ соответственно. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса S(t)=U+Vt. Является ли этот процесс стационарным?

11. Случайный процесс S(t)=Ue^-αt+Ve^-bt, где U и V – некоррелированные случайные величины с нулевым математическим ожиданием, α и b – неслучайные величины. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса ξ(t). Определить, является ли данный процесс стационарным, по крайней мере в широком смысле.

12. Случайный процесс S(t)=t+Ue^-αt+Ve^-bt, где U и V – некоррелированные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями Δ₁=Δ₂=2, α и b – неслучайные величины. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса ξ(t). Определить, является ли данный процесс стационарным в широком смысле.

13. Случайная величина ξ распределена равномерно в интервале [0,2π]. Для случайного процесса η(t)=ξt+α, где α – неслучайная величина, найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции. Является ли этот процесс стационарным?

14. Случайный процесс задан в виде ξ(t)=Vt², где V – непрерывная случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами α и σ². Найти вероятностные характеристики процесса ξ(t) (математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции). Проверить, является ли этот процесс стационарным в широком смысле?

15. Доказать строгую стационарность процесса ξ(t)=αcos(bt+j), где α,b – неслучайные величины, j – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,2π].

16. Случайный процесс представляет собой ξ(t)=V, где V – непрерывная случайная величина с плотностью pv(x). Найти вероятностные характеристики процесса ξ(t) (математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции). Является ли этот процесс стационарным?

17. Поток покупателей является простейшим Пуассоновским с параметром λ, это значит, что вероятность того, что за время t появится ровно k покупателей, определяется формулой Пуассона

.

 

Процесс ξ(t) представляет собой число покупателей, пришедших от 0 до t (например, совпадает с началом рабочего дня). Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции процесса ξ(t). Указание. При вычислении функции корреляции воспользоваться тем, что при s>t ξ(σ)= =ξ(t)+Δξ, где Δξ – число событий, наступивших за время от t до σ.

18. Пусть ξ – случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием μ и дисперсией σ². Найти функцию корреляции случайного процесса η(t)=ξ²t+b, где b – вещественное число, t>0.

19. Имеется пуассоновский поток случайных событий с интенсивностью λ. Случайный процесс ξ(t) образуется следующим образом: в момент времени i-го события (i=1,2…) процесс принимает случайное значение V_i и сохраняет его до появления следующего события в потоке. В начальный момент времени ξ(0)=V₀. Случайные величины V₀, V₁,… – независимы и одинаково распределены с плотностью p_V(ξ). Найти основные характеристики процесса.

20. Найти корреляционную функцию случайного процесса где q₁(t),q₂(t),…,q_n(t) – неслучайные функции, Y_1, Y₂,…Y_n – некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями μ₁, μ₂, … , m_n и дисперсиями δ₁, δ₂, …, d_n соответственно.

21. Пусть R(t,σ) – корреляционная функция некоторого случайного процесса, Q(ζ) – полином с положительными коэффициентами. Доказать, что функция R(t,σ)=Q(R(t,σ)) является корреляционной функцией некоторого случайного процесса.

22. Пусть X~N(μ,σ), b – вещественное число. Найти функцию корреляции СП случайного процесса Y(t)=Xt+b, t>0.

23. Случайный процесс X(t) имеет вид X(t)=U+Vt, где U и V – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0,1], . Вычислить вероятность Π(A) случайного события

.

 

24. Пусть X и Y – независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения –1 и +1 с вероятностями 1/2. Исследовать на стационарность случайный процесс ξ(t)=Xcosλt+Ysinλt , t³0.

25. Пусть X(t), t³0 – пуассоновский случайный процесс с параметром λ. Доказать, что случайный процесс Y(t)=X(t+1)-X(t), t³1 является стационарным в широком смысле.

26. Является ли стационарной последовательность попарно независимых одинаково распределенных случайных величин?

27. Пусть j(t) – непрерывная периодическая функция с периодом T, X – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, T]. Исследовать случайный процесс Y(t)= j(t+X) на стационарность.

28. Доказать, что сумма независимых стационарных случайных процессов является стационарным случайным процессом.

29. Найти функцию ковариации процесса ξ(t)=Xcos(t+Y), где X, Y независимы, X имеет нормальное распределение N(0;1), а Y имеет равномерное распределение на [–π;π].

30. Пусть X(t) – стационарный случайный процесс, Y – случайная величина. Является ли случайный процесс Z(t)=X(t)+Y стационарным?

31. Показать, что функция , где – некоторые положительные постоянные, может быть функцией корреляции непрерывного в среднем квадратическом и стационарного в широком смысле случайного процесса. Определить спектральную плотность, соответствующую такой функции корреляции.

32. Случайный процесс X(t) имеет вид , где b,ω – известные числа, j – случайная величина с плотностью распределения вероятностей f(ξ), t≥0. Исследовать случайный процесс X(t) на стационарность и на эргодичность в следующих случаях:

α) f(x) = cos х при х ∈ [0, π/2];

б) f(x) = 1/2π при x ∈ [0,2π], f(x) = 0 при ξ Ï [0, 2π].

33. Случайный процесс ξ(t) задан четырьмя равновероятными реализациями:

; ;

;

Найти вероятностные характеристики процесса ξ(t) (математическое ожидание, дисперсию и функцию корреляции). Является ли этот процесс стационарным, по крайней мере в широком смысле?