Задача: для заданного положительного целого a найти целую часть квадратного корня из a, т. е. найти значение x = [√a], удовлетворяющее условию x² ≤ a < (x + 1)². Для приближённого вычисления вещественных квадратных корней известна итерационная формула Ньютона, которая выводится следующим образом. Пусть a_i — очередное приближение к √a. Представим √a в виде

√a = a_i + ε.

Тогда

ε² = (√a – a_i)² = a – 2 · √a · a_i + a_i² ≈ 0;

последнее приближённое равенство здесь имеет место в силу малости ε. Отсюда получаем формулу для вычисления следующего приближения к значению √a:

√a ≈ a_i_+ 1 = (a / a_i + a_i) / 2.

Процесс заканчивается, когда будет достигнута требуемая точность δ, т. е. когда на очередном шаге получим | a_i + 1 – a _i | < δ. Оказывается, аналогичная процедура применима и для вычисления целой части квадратного корня, что обосновывается следующей теоремой.