Рассмотрим адиабатическое движение идеальной жидкости.
Исключая из уравнения неразрывности
и уравнения изменения внутренней энергии
, получим
или
.
Отметим, что это же выражение можно получить из первого начала термодинамики (2.1), принимая во внимание адиабатичность процесса.
С другой стороны, если внутренняя энергия идеальной жидкости является функцией давления и времени, то ее дифференциал
.
Сравнивая оба выражения для , после преобразования получаем
|
(2.31) |
После интегрирования получаем зависимость вида , где C – константа, сохраняющая свое значение в движущейся жидкой частице.
Это уравнение связывает изменение давления с изменением плотности в движущейся частице жидкости, т.к. мы работали с полными производными и
.
Жидкость называется баротропной, если ее плотность есть функция только давления: . В противном случае жидкость называется бароклинной.
Таким образом, имеется баротропность для жидкой частицы.
Для установившихся течений имеется место баротропности для линии тока (т.к. траектории движения и линии тока в этом случае совпадают).
Рассмотрим частный случай: движение идеального газа.
В этом случае калорическое уравнение состояния
, где
.
Тогда частные производные, входящие в уравнение (2.31), принимают вид
;
,
а само уравнение преобразуется к простому виду
.
После интегрирования получаем первый интеграл – уравнение адиабаты Пуассона
|
(2.32) |
При адиабатическом движении идеального газа отношение сохраняет постоянное значение. Параметр
называют показателем адиабаты.
Адиабату Пуассона и интеграл Бернулли
используют для расчета параметров установившегося адиабатического движения идеального газа вместо дифференциальных уравнений движения (Эйлера) и энергии.