Каждая система материальных точек описывается своей функцией Гамильтона . Вид функций Гамильтона определяет фазовые траектории, которые заполняют фазовое пространство. Какая именно фазовая траектория будет реализована, зависит от начальных условий. Движение по фазовым траекториям удовлетворяет принципу наименьшего действия: .

Но на каждой траектории значения экстремума действия будут различны. Поэтому можно рассматривать действие как величину, характеризующую движение по истинным траекториям.

Если сравнивать значения, которые действие имеет для траекторий, выходящих из общего начала , но проходящих в момент через различные положения, то действие для истинных траекторий будет являться явной функцией значений координат в верхнем пределе интегрирования  .

Если рассматривать траектории, выходящие из общего начала , но заканчивающиеся в заданном положении в различные моменты времени, то действие для истинных траекторий будет являться явной функцией времени.

Таким образом, действие для истинных траекторий будет являться явной функцией и времени и координат: .

Попробуем, не зная конкретного вида этой функции, записать выражение для ее частных производных по времени и координатам и .

По определению действия его полная производная по времени вдоль траектории равна . Выражая L через гамильтониан: , запишем дифференциал действия в виде

.

(1.60)

С другой стороны, дифференциал действия как функции координат и времени можно записать в виде

.

Приравнивая правые части этих выражений, имеем

.

В силу независимости переменных имеем

и .

(1.61)

Эти соотношения ниже будут использованы для получения уравнения Гамильтона–Якоби.