Ранее уже упоминалось о том, что использование первых интегралов позволяет упростить задачу исследования движения системы материальных точек.

В гамильтоновых переменных первым интегралом будет любое соотношение вида (константа определяется из начальных условий), которое тождественно удовлетворяется любым решением канонической системы уравнений.

Если удастся найти 2s независимых интегралов, тогда они образуют искомое решение

.

Рассмотрим один прием нахождения первых интегралов.

Пусть – некоторая функция координат, импульсов и времени. Составим ее полную производную по времени:

.

Подставляя сюда вместо и их выражения из канонических уравнений Гамильтона, получим

,

где введено обозначение

.

(1.59)

Это выражение называют скобками Пуассона для величин Н и f.

Таким образом, чтобы некоторая функция была первым интегралом движения (т.е. оставалась постоянной при движении системы: ), необходимо (а также и достаточно), чтобы .

В частности, если интеграл не зависит явно от времени, то его скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обращаться в нуль .

Отметим основные свойства скобок Пуассона:

1) ;

2) ();

3) ;

4) ;

5) ;

6) (тождество Якоби).

Имеет место следующее замечательное утверждение (теорема Пуассона): если и – первые интегралы системы канонических уравнений, то их скобка Пуассона также будет первым интегралом этой системы.

Доказательство.

По условию ; .

Нужно доказать, что .

Воспользуемся тождеством Якоби, где положим :

.

Проведем замену: ,   , получим

или (5-е свойство скобок Пуассона). Теорема доказана.

Может показаться, что теорема Пуассона всегда позволяет найти по двум известным первым интегралам третий первый интеграл, затем четвёртый и т.д., пока не будут найдены все.

Но на практике скобка Пуассона часто может быть либо константой, либо функцией известных первых интегралов, что часто бывает, если за первые интегралы брать интегралы, вытекающие из основных теорем динамики. Поэтому следует искать первые интегралы, характерные для данной задачи, а уже потом пытаться использовать скобки Пуассона.

Скобки Пуассона играют важную роль и в других разделах физики, например в квантовой механике (перестановочные соотношения Гейзенберга), в статической физике (уравнения для плотности вероятности) и др.