Элементарной работой силы на перемещении материальной точки называется скалярное произведение

.

Штрих означает, что правая часть не всегда является полным дифференциалом.

Элементарная работа всех сил системы:

Теорема.

Дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил системы:

.

(1.14)

Доказательство.

В отличие от рассмотренных выше основных теорем динамики, в этой теореме участвуют как внешние, так и внутренние силы. Хотя силы, с которыми взаимодействуют две точки системы, равны по величине и противоположно направлены, не обязательно одинаково перемещения этих точек. Поэтому в общем случае это не приводит к нулю работу внутренних сил системы.

Отметим некоторые частные случаи.

а) Неизменяемая система (в которой расстояние между точками приложения внутренних сил при движении не меняется: абсолютно твердое тело, нерастяжимая нить). Для такой системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю, поэтому

.

б) Система с идеальными связями. Если на систему наложены связи, то все действующие внутренние и внешние силы можно разделить на активные силы и реакции связи , и тогда изменение кинетической энергии системы можно представить в виде

.

Удерживающая склерономная связь называется идеальной, если сумма работ всех реакций связи при элементарном перемещении системы равна нулю, т.е.

.

(1.15)

Тогда

,

т.е. наличие идеальных связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении.

Примеры идеальных связей:

1) абсолютно гладкая поверхность ;

2) свободное твердое тело. Связи обеспечивают постоянство взаимных расстояний между точками тела. Реакции связей – внутренние силы, для твердого тела;

3) твердое тело, имеющее одну неподвижную точку (или вращающееся вокруг неподвижной оси): , так как ;

4) два твердых тела, соприкасающиеся при движении абсолютно шероховатыми поверхностями. По определению это означает, что относительные скорости точек, которыми соприкасаются тела равны нулю. Следовательно, и поэтому .

В реальных ситуациях работа реакции связей всегда отлична от нуля. Но часто эта работа бывает малой и допустимо ее считать равной нулю. Это и привело в теоретической механике к выделению важнейшего класса связей, называемых идеальными.

Из теоремы об изменении кинетической энергии для произвольных действующих сил никакого (нетривиального) закона сохранения не вытекает, и, следовательно, нет первых интегралов.