9.3.1. Определение. Пусть в пространстве заданы точка и линейное подпространство размерности . Множество всех точек пространства , для которых , называется -мерной плоскостью , проходящей через точку в направлении подпространства .

9.3.2. Определение. Для -мерной плоскостей применяют следующие названия:

при – точка,

при – прямая,

при – плоскость,

……………………….

при – гиперплоскость.

Отметим, что .

У нас слово «плоскость» будет сокращением -мерной плоскости.

9.3.3. Теорема. -мерная плоскость аффинного пространства сама является -мерным аффинным пространством.

9.3.4. Теорема. Пусть – базис -мерной плоскости , проходящей через точку . Тогда для всякой точки найдутся однозначно определяемые числа такие, что

.

9.3.5. Определение. Приведенное здесь соотношение называется векторным параметрическим уравнением -мерной плоскости.

9.3.6. Замечание. Векторное параметрическое уравнение -мерной плоскости равносильно системе параметрических уравнений в координатах:

.

Они называются параметрическими уравнениями -мерной плоскости в координатах.

9.3.7. Теорема. В пространстве всякая -мерная плоскость может быть задана системой независимых линейных уравнений вида

, .

9.3.8. Следствие. Гиперплоскость в пространстве может быть задана уравнением вида .

9.3.9. Задача. В пространстве написать уравнение гиперплоскости, проходящей через точку и имеющей направляющее подпространство с базисом .

Решение. .

9.3.10. Теорема. В пространстве уравнение , при , определяет гиперплоскость.

9.3.11. Теорема. Если координаты в пространстве преобразуются по закону , то уравнение гиперплоскости перейдет в уравнение , где ,

9.3.12. Следствие 1. Если уравнение гиперплоскости , то объект есть ковектор .

9.3.13. Следствие 2. Уравнение гиперплоскости в пространстве может быть записано в виде .

9.3.14. Пример. Пространство (аффинная плоскость).

1. 0-мерная плоскость (точка) . Направляющее подпространство нульмерное. Система уравнений, задающая точку: .

2. 1-мерная плоскость (прямая, она же гиперплоскость). Векторное параметрическое уравнение , . Направляющее подпространство . Параметрические уравнения в координатах: . Система уравнений, задающих прямую, состоит из одного уравнения , причем .

9.3.15. Пример. Пространство .

1. 0-мерная плоскость (точка) .

2. 1-мерная плоскость (прямая). Векторное параметрическое уравнение , . Направляющее подпространство . Параметрические уравнения в координатах: , где . Система уравнений, задающая прямую: , причем .

3). 2-мерная плоскость (плоскость). Векторное параметрическое уравнение , . Направляющее подпространство . Параметрические уравнения в координатах: , где . Система уравнений, задающая плоскость, состоит из одного уравнения , причем .

9.3.16. Определение. Пересечением плоскостей , называется плоскость наибольшей размерности, содержащаяся в каждой из этих плоскостей. Обозначается . Очевидно, что

.

9.3.17. Замечание. Если каждая из плоскостей ,  задана системой уравнений, то вопрос о пересечении решается очевидным образом.

9.3.18. Пусть плоскость проходит через точку в направлении линейного подпространства , а плоскость – через точку в направлении линейного подпространства . Общая точка этих плоскостей удовлетворяет уравнениям

, .

Исключая , получаем уравнение

относительно вектора , высота которого равна .

9.3.19. Теорема. .

9.3.20. Замечание. Данной теореме можно дать иную формулировку:

9.3.21. Пусть последнее условие выполнено, и пусть – точка пересечения плоскостей , . Принимаем её за начальную точку каждой из этих плоскостей и убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Теорема. Если плоскости имеют непустое пересечение, то размерность пересечения плоскостей равна размерности пересечения направляющих подпространств этих плоскостей.

9.3.22. Определение. Суммой плоскостей ,  называется плоскость наименьшей размерности , содержащая каждую из этих плоскостей.

9.3.23. Теорема. Пусть плоскость проходит через точку в направлении линейного подпространства , а плоскость – через точку в направлении линейного подпространства . Тогда плоскость проходит через точку (и через точку ) в направлении линейного подпространства

.

9.3.24. Следствие.

.

9.3.25. Пример. В пространстве даны две плоскости:

, .

Исключая параметры , , получаем системы уравнений для плоскостей.

, .

Пересечение есть прямая . Для отыскания суммы плоскостей заметим, что . Следовательно, . Исключая параметры , получаем уравнение гиперплоскости в виде .