8.4.1. Определение Однородный многочлен

,

коэффициенты которого удовлетворяют условию , называется квадратичной формой, а симметричная матрица

называется матрицей этой квадратичной формы.

8.4.2. Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.

8.4.3. Определение. Если квадратичная форма записана в виде

,

то говорят, что она приведена к диагональному виду.

8.4.4. Теорема. Всякая ненулевая квадратичная форма за конечное число шагов может быть приведена к диагональному виду.

8.4.5. Определение. Запись

называется нормальной записью квадратичной формы .

Число называется положительным индексом формы , число s – отрицательным индексом, число (количество ненулевых слагаемых) называется рангом квадратичной формы, а число – дефектом формы .

8.4.6. Теорема. Ранг квадратичной формы равен рангу ее по определению 8.4.2 (то есть рангу матрицы квадратичной формы).

Следствие. Ранг квадратичной формы не зависит от способа приведения ее к нормальному виду.

8.4.7. Теорема. Положительный индекс квадратичной формы не зависит от способа приведения ее к нормальному виду.

8.4.8. Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всякого ненулевого вектора имеем . Матрицу положительно определенной квадратичной формы называют положительно определенной матрицей.

8.4.9. Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы ее положительный индекс равнялся размерности пространства.

8.4.10. Определение. Угловым минором порядка k квадратичной формы называется минор, расположенный в первых k строках и в первых k столбцах матрицы данной квадратичной формы, то есть угловой минор матрицы квадратичной формы.

Ясно, что квадратичная форма в n-мерном пространстве имеет n угловых миноров.

8.4.11. Теорема. Квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда каждый ее угловой минор положителен.

8.4.12. Теорема. Пусть квадратичная форма имеет матрицу A. Пусть – собственные числа матрицы A, и – собственные векторы той же матрицы, причем каждый из этих векторов имеет единичный скалярный квадрат. Если перейти к базису , то в новых координатах , отвечающих новому базису, квадратичная форма примет диагональный вид .

8.4.13. Определение. Описанный выше процесс приведения квадратичной формы к диагональному виду называется приведением квадратичной формы к главным осям.