Напомним,что сопряжённый оператор к оператору , где – гильбертовы пространства, задаётся равенством .       (1) Равенство (1), что важно, выполняется при любых .

Часто рассматривается случай , но это необязательно.

Пример 1. Оператор замены переменной.

Найти сопряжённый к оператору .

Имеем . Воспользуемся равенством (1) (справа налево):

,                     (2)

Заменяя в (2), в первом интеграле в правой части на , получим: Таким образом, .Следовательно, . Полученное равенство выполняется при всех , то есть вектор ортогонален всему пространству . Поэтому он равен 0, откуда .

Пример 2. Оператор умножения на функцию.

Найти сопряжённый к оператору.

Применим ту же схему рассуждений, что и в предыдущем примере. . Из последнего равенства, так же как и в примере 1, выводится, что .

Пример 3. Оператор сдвига.

Найти сопряжённый к оператору .

Аргументы, применявшиеся в примере 1, сохраняют силу и здесь. Проделаем только вычисления, основанные на равенстве (1). . Полагая в первом из получившихся интегралов , а во втором , получим: . Это равенство показывает, что .

Пример 4. Оператор Фредгольма.

Найти сопряжённый к оператору .

Из курса лекций известно, что сопряжённым к оператору Фредгольма с ядром является оператор Фредгольма с ядром . Поэтому .

Пример 5.

Найти сопряжённый к оператору .

В нашем случае . Обозначим . Равенство (1) запишется в виде  .                         (3)

Напомним, что это равенство выполняется при любом . Это даёт возможность найти координаты вектора . А именно, будем по очереди подставлять в (3) вместо  векторы вида , где единица стоит на n-м месте. Тогда левая сумма в (3) будет равна , а правая будет равна . При получится, очевидно, , а при получим . Таким образом, .