Для линейного ограниченного функционала , определенного на линейном нормированном пространстве , число называется нормой функционала .

Линейное пространство всех линейных ограниченных функционалов с такой нормой обозначается и является банаховым пространством.

Для того, чтобы доказать, что данное число является нормой функционала (т.е. является точной верхней границей множества значений этого функционала на единичном шаре ) нужно:

Доказать неравенство для всех . Это будет означать, что число является верхней границей для множества и, следовательно, .

Найти последовательность элементов , , таких, что , или найти один элемент , , для которого . Это будет означать, что

или, в случае, когда удается найти один элемент,

.

 

Задача 1. Докажите, что функционал , определенный формулой , является ограниченным, и найдите его норму.

Решение. Для функции имеем

.

Отсюда следует, что значения функционала на единичном шаре ограничены числом 3. Для функции из единичного шара , и, следовательно, , только если и . Такой функцией является, например, функция

 

Задача 2. Докажите, что функционал , определенный формулой , является ограниченным, и найдите его норму.

Решение. Пусть Тогда

.

Отсюда следует, что . Кроме того, из этого неравенства видно, что самое большое значение, которое функционал может принять на единичном шаре, – это . Нетрудно видеть, что если , то и, значит, . Окончательно получаем, что .

 

Задача 3. Докажите, что функционал , определенный формулой , является ограниченным, и найдите его норму.

Решение. Пусть Тогда

.

Отсюда следует, что Кроме того, из этого неравенства видно, что , если . Единственной функцией (с точностью до меры ноль), для которой и , является функция

Функция является разрывной, т.е. . Это означает, что на единичном шаре пространства функционал не принимает значение 1. Рассмотрим последовательность функций , поточечно сходящихся к функции , таких, что для каждого . Например,

 

 

Тогда

Таким образом, получили, что . Из двух полученных неравенств имеем, что .

 

Задача 4. Является ли ограниченным функционал , определенный формулой .

Решение. Данный функционал не определен на всем пространстве . Например, для непрерывной на отрезке функции

. Даже если мы рассмотрим данный функционал на области определения, т.е. на множестве , то на функциях , где – это ломаная, соединяющая точки ,

 

 

значение функционала будет стремиться к бесконечности: . Это означает, что на функционал является неограниченным. График функции показан на рисунке:

 

Задача 5. Докажите ограниченность функционала , заданного формулой , и найдите его норму.

Решение. Для функции имеем

.

Таким образом, получили оценку . Заметим, что не существует такой функции, для которой почти для всех будет выполняться равенство , т.е. нет такой функции , что и . Рассмотрим последовательность функций , , носители (носитель – это множество тех точек, в которых функция отлична от нуля) которых сосредоточены на полуинтервалах , т.е. в окрестности точки , в которой функция принимает наибольшее значение. Например,

Тогда

,

откуда . Таким образом, .

Замечание. Если рассматривать функции , для которых для некоторого и некоторого фиксированного , то

Отсюда следует, что среди таких функций мы не найдем последовательность , для которой бы . Поэтому для любого необходимо рассматривать функции , которые равны нулю на промежутке . Одна из таких последовательностей и была взята при решении задачи.

 

Задача 6. Докажите ограниченность функционала , заданного формулой , и найдите его норму.

Решение. Для функции имеем

и, значит, .

Заметим, что данный функционал можно записать, как и в предыдущем примере, в виде , где Поскольку , то мы можем выбрать любую функцию , , носитель которой содержится либо в интервале , либо в интервале . Для таких функций

или, соответственно, .

Таким образом, .

 

Задача 7. Докажите, что функционал , заданный формулой , ограничен, и найдите его норму.

Решение. Пространство является гильбертовым пространством, и по теореме Рисса функционал является ограниченным, если . В нашей задаче и, значит, функционал является ограниченным. Используя неравенство Коши–Буняковского, получаем

,

т.е. .

Как показано в теореме Рисса, максимальное значение на единичном шаре непрерывный функционал принимает в точке . Следовательно, если мы рассмотрим функцию , то, во-первых, , а во-вторых, Таким образом, .

 

Задача 8. Является ли ограниченным функционал на своей области определения ?

Решение. Данный функционал не определен на всем пространстве , так как, например, для функции будет

.

Рассмотрим функции Вычислим их нормы: . Тогда для функций имеем: , а . Это означает, что функционал неограничен на своей области определения.

 

Для нахождения нормы функционалов нужно воспользоваться теоремами об общем виде функционалов на соответствующих пространствах. В доказательствах этих теорем приведены неравенства, необходимые для оценки значений , и указаны элементы , для которых .