Основным объектом функционального анализа являются векторные (также употребляют термин линейные) пространства, которые наделяют дополнительной структурой метрического или топологического пространства. Числовое поле , над которым мы будем рассматривать векторное пространство, будет совпадать с полем вещественных чисел  или с полем комплексных чисел . Никакие другие поля в курсах функционального анализа обычно не рассматриваются. В нашем курсе основной структурой, которой наделяются векторные пространства, является нормированное пространство.

Определение 1.1. Вещественная неотрицательная функция  называется нормой, если выполнены следующие три условия (аксиомы нормы):

1)   для всех  , причем  тогда и только тогда, когда x=0;

2)   для каждого скаляра  и любого вектора  ;

3)   для всех  (неравенство треугольника).

Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным пространством.

Нормированное пространство называется комплексным нормированным пространством или вещественным нормированным пространством в зависимости от выбора поля .

Векторное подпространство нормированного пространства, все элементы которого наделены теми же нормами, называется подпространством нормированного пространства.

Нормированное пространство называется банаховым пространством, если в нем сходится любая фундаментальная последовательность ( = последовательность Коши).