Тангенс и котангенс определяются на комплексной плоскости соответственно формулами:

Обе функции принимают на комплексной плоскости конечные значения, за исключением для множества точек , и для – множества точек z' = , в которых функции обращаются в бесконечность. Обе функции непрерывны на , за исключением указанных точек. В таких точках непрерывности

и, значит, – голоморфная функция в , а – голоморфная функция в .

Функции – периодические. Основной период .

Из четности , нечетности и определения следует: то есть нечетность .

Согласно определению и в силу теорем сложения для и : 

Отсюда следует равенство  составляющее теорему сложения для тангенса.

В частности,

Аналогично устанавливаем теорему сложения для котангенса

В частности,

Связь между тригонометрическими и гиперболическими тангенсами и котангенсами дается формулами: .