Формулу Эйлера или, что то же самое, но с заменой на , можно представить в равносильной форме: , лежащей в основе алгебраическо-аналитической разработки тригонометрии на комплексной плоскости.

По определению, косинус и синус для вводятся следующими формулами: 

Обе функции непрерывны на , имеют основной период . Поскольку производные существуют в каждой точке , то , – голоморфные функции на и представляют собой, как и , , примеры целых функций.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что

При установлении дальнейших свойств функций , будем использовать теоремы сложения.