Гиперболический тангенс и гиперболический котангенс определяются на комплексной плоскости соответственно формулами: 

Обе функции принимают на комплексной плоскости конечные значения, за исключением для множества точек , и для – множества точек , в которых функции обращаются в бесконечность. Обе функции непрерывны на , за исключением указанных точек, лежащих, очевидно, на мнимой оси. В точках непрерывности и, следовательно, – голоморфная функция в , а – голоморфная функция в . Функции – периодические. Основной период равен .

Теорема сложения для получается непосредственно из теорем сложения для , . Действительно,

После деления числителя и знаменателя на получаем 

Аналогично устанавливаем, что