Множеству комплексных чисел , , , соответствует множество – комплексная плоскость с разрезом по лучу, идущему из нуля по положительной части действительной оси (рис. 12). Разрез имеет два края: верхний – на нем , – и нижний – геометрически совпадающий с верхним краем, но исключаемый из рассмотрения условием .

 

Рисунок 12 (n=5)

 

Рисунок 13 (n=5)

Рисунок 14 (n=5)

 

Представим плоскость комплексного переменного как объединение попарно непересекающихся множеств получающихся присоединением к угловой области луча , входящего в границу области (рис. 13). Объединение совпадает с . Каждая функция , , однозначна на -плоскости с разрезом, то есть на , и имеет значения, принадлежащие и заполняющие это множество. Для преодоления неудобств, связанных с многозначностью , поступим, воспроизводя идею Римана, следующим образом. Возьмем комплексных плоскостей с разрезом и будем считать, что они расположены друг над другом и получены сдвигом вверх по направлению, ортогональному плоскости (рис. 14). Соединим (склеим) нижний край разреза на с верхним краем разреза на , нижний край разреза на с верхним краем разреза на и т.д. Наконец, соединим нижний край разреза на с верхним краем разреза на (эта процедура не может быть проиллюстрирована построениями в ) (рис. 15). Получается связная поверхность – поверхность Римана для , имеющая следующее свойство. Поднимем точку на плоскости . Будем перемещать точку , взятую на , по непрерывной кривой, лежащей на и не пересекающей линию склейки с , в точку на . Тогда значение непрерывно переместится в значение , причем . Читатель легко убедится, что подобным образом реализуется переход от к . На поверхности можно рассматривать -окрестности точки и распространить понятие непрерывности .

Рисунок 15 (n=5)

 

Таким образом, функция -значная на комплексной плоскости, становится однозначной на своей римановой поверхности. Точка является точкой ветвления римановой поверхности (точнее, алгебраической точкой ветвления порядка ).