Геометрия встречающихся в природе объектов самых различных размеров – от атомных масштабов до Вселенной – занимает центральное место в моделях, которые мы строим, чтобы «понять» природу. Геометрия траекторий частиц, линий тока в гидродинамике, волн, обводов корабельных корпусов и береговых линий, ландшафтов, рек, гор, островов, ледников и отложений, зерен в скалистых породах, металлах и композитных материалах, растений, насекомых и живых клеток, а также геометрическая структура кристаллов, молекул химических веществ и многое другое – геометрия природы – занимает центральное место в различных областях естествознания.

Для всех областей науки насущным является вопрос: как микроскопическое поведение систем связано с тем, что мы наблюдаем в макроскопическом масштабе? Б. Мандельброт, Е. Федер и др. считают, что фракталы, устанавливающие связь между геометриями в различных масштабах, существенны для понимания и описания этой связи, а использование теории фракталов позволяет наметить пути поиска ответа на поставленный вопрос.

В последние 10–15 лет теория фракталов получила широкое распространение. До фактического начала активной деятельности в этой области в математике существовало понятие размерности Хаусдорфа – Безиковича (рХБ). С 1977 г., когда было введено понятие фрактальной размерности, выяснилось, что оно является важным геометрическим понятием, позволяющим количественно описывать неупорядоченные структуры в простых моделях и физических системах в целом.

Сейчас уже несомненно, что фракталы встречаются в огромном числе физических процессов и явлений. Обнаружено множество задач, где фрактальная структура и фрактальная размерность служат основными характеристиками системы: теории турбулентности, динамических систем, фазовых переходов и т.д.

Полного и строгого определения фракталов пока не существует. Имеется ряд вариантов определений, различающихся степенью строгости и конкретизации.

Мандельброт предложил следующее определение фрактала: фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Это определение содержит очень важный признак, наблюдаемый в эксперименте, – фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдали.

Классическими примерами множеств точек, проявляющих фрактальный характер, являются: контур континентальной береговой линии, триадная кривая Коха, ковер Серпинского, функция Вейерштрасса – Мандельброта и др. Для таких множеств рХБ не является целочисленной, а представляет собой дробные величины между значениями топологических размеров 0, 1, 2 и т.д. и называется фрактальной.

Фрактальная размерность D характеризует любую самоподобную систему: при изменении линейных размеров в f раз фрактальная величина (например, «длина» контура или «площадь» поверхности) изменяется при любом f в f^D раз (D не зависит от масштаба измерения, а зависит от конкретной изучаемой системы).

Фрактальная размерность (ФР) может выступать в качестве характеристики множества, проявляющего фрактальные свойства. Так, значение ФР поверхности заключено между 2 и 3, а ФР контурной линии – между 1 и 2.

Применение фрактальной геометрии дает эффективный инструмент в изучении сильно неровных поверхностей. Она нашла особое применение в описании свойств поверхностей разрушения, где ФР была использована как количественный индикатор шероховатости разрушаемой поверхности или ее профиля.

Согласно основным положениям физической мезомеханики материалов все изменения, происходящие внутри деформируемого материала, находят однозначное отражение в изменениях рельефа его поверхности. Отсюда оценка напряженно-деформированного состояния исследуемого материала может быть произведена по анализу этого рельефа. Поэтому изучение зарождения, развития и взаимодействия элементов мезосубструктуры на поверхности позволяет проследить динамику развития процессов, протекающих в исследуемом материале в целом. Но встает вопрос: как численно описать изменение мезосубструктуры? На помощь приходит концепция фракталов.

Использование методов измерения ФР было вызвано главным образом потребностью в получении достоверной численной информации о механическом состоянии материала под нагрузкой. Использовавшиеся до этого в неразрушающем контроле методы и средства предназначались в основном для обнаружения в деформируемом материале трещин, что часто является недопустимым при эксплуатации реальных изделий и конструкций. На помощь пришло введенное в физической мезомеханике материалов понятие структурных элементов деформации, возникающих и развивающихся в объеме материала в процессе пластической деформации. Эволюция подобных процессов внутри деформируемого материала должна приводить к образованию на поверхности субструктуры, имеющей фрактальный характер. Подобный подход позволяет определять степень деформации с помощью численной характеристики, получаемой на основе анализа субструктуры, наблюдаемой на поверхности материала под нагрузкой.