Анализируя уравнение Лагранжа второго рода, можно несколько расширить классификацию сил. А именно среди непотенциальных сил выделить гироскопические и диссипативные силы, а также ввести понятие диссипативной функции Рэлея.

Для этого рассмотрим уравнение Лагранжа в общем виде (3.6). Отдельно запишем выражение для потенциальных сил через потенциальную энергию, а через Q_i будет обозначать только непотенциальные силы:

    .
Введем в рассмотрение полную энергию E, равную сумме кинетической и потенциальной энергий

,
и вычислим полную производную по времени dE/dt от этой величины. Для этого вначале найдем производную по времени от кинетической энергии как сложной функции времени, обобщенных координат и обобщенных скоростей:

.
Далее используем тождество (взяв производную по частям)

и подставим последний член в этом выражении вместо первого слагаемого в предыдущей формуле, получим

.

Применим к первому слагаемому формулу (2.14) для разложения кинетической энергии на однородные функции второй, первой и нулевой степени, а также формулу Эйлера для однородных функций. Выражение под знаком суммы во втором слагаемом совпадает с левой частью уравнений Лагранжа с обратным знаком. Заменим его правой частью уравнений Лагранжа.

Сделаем небольшое отступление, чтобы напомнить некоторые понятия из теории функций многих переменных. Функция n переменных называется однородной степени m, если для любого действительного положительного числа λ имеет место формула

.

Обычно эти функции имеют вид

.

Формула Эйлера для однородной функции m-й степени f(x₁,...,x_n) записывается следующим образом:

.
Справедливость этой формулы можно проверить непосредственным дифференцированием.

А значит, для составляющих кинетической энергии T₂ и T₁ находим

,  .

Воспользовавшись этими заменами, получим выражение

.
Далее воспользуемся тождеством 2T=2T₂+2T₁+2T₀,

значит

2T=2T₂+2T₁+2T₀,

.
В итоге для производной от кинетической энергии имеем

.

Поскольку потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей, для её производной имеем простое выражение

.
Окончательно получим для полной энергии

.                                             (3.7)
Эта формула и выражает теорему об изменении полной энергии при движении произвольной голономной системы. Рассмотрим теперь частные случаи.