Метод перемещений – один из основных инженерных методов расчета конструкций и сооружений, базирующихся на подходах теории сопротивления материалов. Метод позволяет исследовать поведение всей конструкции взаимодействующих типовых элементов, для каждого из которых известно решение по формулам сопромата. Именно такие исследования лежат в основе процедур оптимизации с учетом комплекса различных критериев оптимальности (таких как критерий равнопрочности, например).

Основные допущения метода перемещений:

• конструкция (или сооружение) состоит из набора типовых элементов, взаимодействующих только в отдельных точках – узлах системы;

• все внешние силы прилагаются к узлам конструкции.

Рассмотрим основные приемы метода перемещений на простом примере анализа поведения стержневой системы (рамы), приведенном в популярном пособии [1]. Стержневая конструкция представляется системой из четырех одинаковых стержней длины l, скрепленных в соответствии с чертежом, приведенном на рисунке 1.

Рис. 1.

Введем понятие обобщенных узловых усилий и отвечающих им обобщенных узловых перемещений.

Для приведенной на рис. 1 конструкции внешние силы могут быть приложены в точках взаимодействия А и B, которые мы назвали узлами системы (см. рис. 2 а)). Важно отметить, что с этого момента мы имеем дело уже с модельной конструкцией.

Модельная конструкция  – упрощенный образ реальной конструкции или сооружения.

Упрощения образа обеспечивают выполнение всех допущений метода перемещений строительной механики и теории сопротивления материалов.

Пусть U₁, U_2… – обобщенные перемещения узлов стержневой системы, измеряемые в линейных или угловых единицах.

Р₁, Р_2… – внешние силы (усилия, моменты), приложенные в узлах, – каждая из них отвечает обобщенному перемещению узла с тем же номером.

U₁ и P₁ – угол поворота узла А и внешний момент, приложенный к этому узлу.

а)

б)

Рис. 2.

Рама характеризуется углами поворота узлов А и В.

По формулам сопромата вследствие поворота узлов А и B   в стержнях возникнут реактивные моменты, равные:

– момент относительно узла

А,

– момент относительно узла

В, если перемещение задано в узле А.

Где Е – модуль Юнга, J – момент инерции сечения.

Если перемещение задано в узле В, то

,

здесь под перемещением узла В рассматривается поворот.

В узле А соединяются три стержня. Чтобы закрутить узел на угол U₁=U_A  надо приложить момент сил, равный сумме моментов во всех стержнях. При этом используется очевидное условие: обобщенные перемещения в узле для элементов, примыкающих к этому узлу и соединенных жестко – равны.

С учетом сказанного, действительные реактивные моменты в стержнях:

Здесь r₁₁– реактивный момент в первом узле от единичного поворота того же узла; r₁₂– реактивный момент в первом узле от поворота второго узла и т. д.

Под действием реактивных моментов в стержнях и внешней нагрузки узлы должны оставаться в равновесии, т. е. если для заданных значений U₁ и U₂ – углов поворотов узлов, вычислить R_A и R_B , а затем задать в узлах внешние моменты P₁= R_A  и P₂= R_B, то стержни как раз и загнутся на углы U₁ и U₂ – упруго.

(*),

где Р₁ и Р₂ – внешние усилия (здесь моменты).

Важно отметить, что для конструкции или сооружения любой сложности система уравнений типа (*), связывающая узловые значения усилий и перемещений, может быть построена, если из-вестны приближенные решения (по формулам сопротивления материалов) для всех элементов конструкции.

Например, если считать, что жесткости стержней EJ одинаковы, P₁=3; P₂=0, EJ/l=1, тогда U₁=6/23; U₂=-3/46.

В таком виде метод перемещений был предложен во второй половине XIX в. Двадцатый век ввел в рассмотрение вектора и матрицы. Пусть между переменными x₁, x₂ … и y₁,y₂ … имеется группа зависимостей:

то, вводя понятия векторов-столбцов:

и прямоугольной матрицы:

эту зависимость можно представить в виде:

Каждый элемент вектора-столбца произведения [a]{x} есть сумма произведений элементов строки матрицы [a] на элементы вектора-столбца {x}.

Умножение матрицы на вектор имеет смысл тогда, когда число столбцов матрицы равно размерности вектора, т. е. числу компонент вектора-столбца {x}. Если у матрицы одна строка, т. е. это матрица – строка, то ее произведение на вектор-столбец есть скаляр.

- транспонированная матрица

Применив эти понятия к задаче, рассмотренной в начале лекции, получим:

.

Компоненты матрицы [r] определяются параметрами жесткости системы Е и J и [r] называется «матрицей жесткости».

Построенная система линейных алгебраических уравнений определяет связь между компонентами узловых усилий и узловых перемещений любой конструкции (или сооружения) любой сложности, если известны приближенные решения (по формулам сопротивления материалов) для каждого типа элементов. Но для анализа поведения всей конструкции (а значит и для ее оптимизации) надо решить эту систему с приемлемой точностью.

Число уравнений построенной системы определяется числом сопряженных элементов конструкций, а значит числом узлов, и размерностью задачи, – т.е. числом степеней свободы модельной конструкции.

Решение больших систем уравнений во все времена представляло значительную проблему. Счастливой (и культивируемой!) особенностью систем линейных алгебраических уравнений, получаемых в методе перемещений, является возможность сведения их к ленточному типу.

Такую процедуру можно назвать оптимизацией матрицы системы. Ленточная структура системы линейных алгебраических уравнений позволяла еще во времена отсутствия компьютеров (для нас – доисторические) проводить вычислительный анализ и оптимизацию достаточно сложных конструкций и сооружений. Дополнительным условием получения решений больших систем линейных алгебраических уравнений с приемлемой точностью  является требование диагонального преобладания ленточной матрицы – условие превышения абсолютного значения диагонального элемента над значениями остальных элементов строки и столбца матрицы. И это условие является второй счастливой особенностью систем уравнений метода перемещений с оптимизированной матрицей.