В теоретическом отношении все позиционные системы счисления равноправны. Во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам, согласно выписанным таблицам сложения и умножения. Для всех систем счисления справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком, знакомые нам по действиям в десятичнойсистеме счисления, опирающиеся на таблицы сложения иумножения десятичных цифр.

В Р-ичной системе счисления таблица сложения представляет результаты сложения каждой цифры алфавита Р-ичной системы с любой другой цифрой этой же системы. Составление подобной таблицы не составляет труда. Каждый элемент таблицы равен предыдущему в строке или встолбце, увеличенному на единицу по правилам прибавления единицы в Р-ичной системе счисления (первые вычисляемые элементы в строке или столбце рaвны базовой цифре этой же строки или столбца, так как соответствуют прибавлению к ней нуля).

Наиболее простыми являются таблицы сложения в двоичной и троичной системах счисления.

Сложение столбиком в троичной системе счисления.

Сложение столбиком в шестнадцатеричной системе счисления.

Очевидно, что любая таблица сложения (умножения) в силу закона коммутативности симметрична относительно главной диагонали (линии, проведенной излевого верхнего угла таблицы в ее правый нижний угол).

Имея перед собой соответствующую таблицу сложения, можно осуществлять действия сложения и вычитания столбиком в любой Р-ичной системе счисления. Несложно показать, что если результат сложения двух цифр в Р-ичнойсистеме счисления больше, чем Р-1 (то есть полученное число - двузначное), то левая цифра всегда равна 1, так как при сложении даже двух самых больших цифр алфавита мы имеем:

Следовательно, при сложении столбиком цифр справа налево в любой системе счисления в следующий разряд может переходить только единица, а результат выполнения сложения в новом разряде все равно будет меньше, чем 2Р (максимум 2Р - 1 = 1(Р - l) _р). Иными словами, результат сложения двух положительных Р-ичных чисел либо имеет столько же цифр, сколько и максимальное из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица.

Вычитание в Р-ичной системе счисления можно производить столбиком аналогично вычитанию в десятичной системе. Для выполнения этой операции будем также использовать таблицу сложения в Р-ичной системе счисления.

Если требуется выполнить операцию а - b, где а и b цифры Р-ичной системы счисления.

1. По таблице сложения выбираем столбец для цифры b. В этом столбце ищем цифру а. В строке с цифрой а выбираем цифру в первом (левом) столбце. Это и будет результатом вычитания.

2. Если же а < b, то, занимая единицу из левого разряда, мы придем к необходимости выполнения следующего действия:
   

   10_р + а - b = 1а_р - b.
   
   Для этого в столбце для цифры b таблицы сложения мы уже ищем число 1а_р, а первая цифра в соответствующей строке является результатом вычитания.

Вычитание столбиком в двоичной системе счисления.

Вычитание столбиком в троичной системе счисления.

Если же таблицы сложения в Р-ичной системе у вас под рукой нет, а в ее алфавите достаточно много цифр, что затрудняет выписывание полной таблицы, или требуется провестивсего одно-два арифметических действия в данной системесчисления, то возможен и другой подход к выполнению арифметических операций.

А именно: переведем каждое из слагаемых (или уменьшаемое и вычитаемое) в десятичную систему счисления, произведем требуемое действие в десятичной системе, а результат запишем в исходной Р-ичной системе счисления.

Очевидно, что аналогичным способом можно поступать и при выполнении действий умножения и деления, но в следующих параграфах мы рассмотрим их выполнение непосредственно в Р-ичной системе счисления, так как данные операции окажутся необходимыми для дальнейшего рассмотрения.