Разрешение парадокса Больцмана, в конечном счете, состоит в том, что равновесное излучение вообще не подчиняется законам классической физики. Оказывается, что в данном случае, во-первых, атом ни в каком смысле нельзя представлять себе как материальную точку, движение которой определяется законами Ньютона; во-вторых, электромагнитное поле в полости нельзя описывать как суперпозицию монохроматических волн, распространяющихся согласно законам классической электродинамики Максвелла. Вследствие этого, уже не удивительно, что, в-третьих, закон равнораспределения энергии по степеням свободы, основанный, в конечном счете, на законах Ньютона для вещества и на классической электродинамике для излучения, для равновесного теплового излучения просто неверен.

Как уже было сказано в начале лекции, законы микромира объясняются квантовой теорией. Одной из характерных особенностей квантовой теории, не имеющих никакого аналога в классической физике, является квантование энергии стабильных систем. Именно на этой особенности я хочу сосредоточить ваше внимание, поскольку именно квантование энергии является одним из ключевых принципов, необходимых для понимания структурной организации материи, т.е. существования стабильных, повторяющихся в своих свойствах, молекул, атомов и более мелких структурных единиц, из которых состоит как вещество, так и излучение.

Принцип квантования энергии гласит, что любая система взаимодействующих частиц, способная образовывать стабильное состояние — будь то кусок твердого тела, молекула, атом или атомное ядро, — может сделать это только при определенных значениях энергии. Уровни энергии любой такой системы (рис. 10) состоят из уровня основного состояния , соответствующего минимальному возможному значению энергии, и (бесконечного) набора дискретных уровней Система может находиться в состояниях только с этими определенными уровнями энергии , причем основное состояние всегда является наиболее вероятным, т.е. стабильная система проводит большую часть времени в основном состоянии. Кроме того, всегда существует предельное значение энергии , выше которого начинается так называемый сплошной спектр энергии. При энергия не квантуется, т.е. система может находиться в состоянии с любым значением энергии, большим .

Например, из школьного курса физики вам известно, что атом водорода в стабильном состоянии может иметь только дискретные уровни энергии, определяемые формулой Бора:

(3)

Здесь основному состоянию соответствует , т.е., по традиции, энергию основного состояния атома водорода обозначают , а не . Кроме того, для атома водорода , т.е. при энергия системы «электрон + ядро» не квантуется.

Очень существенно, что состояния системы с энергией из сплошной части спектра принципиально отличаются от состояний дискретной части спектра. Физически это отличие состоит в том, что в состояниях сплошного спектра система перестает вести себя как единое целое и распадается на явным образом выраженные подсистемы. Например, система «ядро с электрическим зарядом + электронов» ведет себя как атом с атомным номером с определенным значением энергии, только если она находится в состоянии дискретного спектра с одним из значений энергии , меньшим . Та же система в состоянии сплошного спектра, т.е. с энергией больше , будет соответствовать уже атому, «расщепленному на осколки», например на положительно заряженный ион и один или несколько электронов, отщепившихся от атома, т.е. не находящихся больше на электронных оболочках. Аналогично, дискретными значениями энергии обладает любое твердое тело, т.е. система атомов, упорядоченная в кристаллическую решетку. В состоянии с энергией , кристаллическая решетка разрушится, и твердое тело расколется на несколько частей или даже расплавится.

Парадокс Больцмана для равновесного излучения как раз и объясняется существованием состояний с дискретными значениями энергии. Как уже говорилось, большую часть времени вещество проводит в основном состоянии с энергией . При этом для перехода в одно из состояний с энергией , т.е., как о таких состояниях принято говорить, в одно из возбужденных состояний, тело должно поглотить энергию . Поглощение может произойти либо за счет тепловой энергии колебаний атомов, либо за счет энергии излучения. Если тело находится в тепловом равновесии при температуре , то энергия теплового движения каждого атома около положения равновесия в кристаллической решетке . Поэтому те уровни энергии атома, для которых , практически не возбуждаются, и степени свободы атома, соответствующие этим уровням энергии, при данной температуре вообще никак себя не проявляют. Это объясняет, почему в микромире не может выполняться закон равнораспределения энергии по степеням свободы.

Кроме того, оказывается, что и энергия электромагнитного поля квантуется. Поясним этот факт. В классической теории Максвелла электромагнитное поле может быть представлено как суперпозиция плоских монохроматических волн, каждая из которых характеризуется, в том числе, определенной длиной волны или частотой . С точки зрения квантовой теории, как вам может быть известно из изучения фотоэффекта, электромагнитное поле состоит из частиц, которые называют фотонами. Таким образом, прежде всего, полностью устраняется принципиальная разница между веществом и излучением, которая имела место в классической физике: в квантовой теории и вещество, и излучение состоят из частиц. Далее, каждая плоская монохроматическая волна с частотой является потоком фотонов с одинаковыми энергиями и импульсами. Импульс и энергия фотона в плоской монохроматической электромагнитной волне связаны с частотой волны соотношениями

(4)

где – вектор, параллельный направлению распространения электромагнитной волны, модуль которого равен

В общем случае возбуждение электромагнитного поля в полости представляет собой суперпозицию плоских монохроматических волн, с различными частотами , распространяющимися в различных направлениях, так что полная энергия электромагнитного излучения вычисляется как сумма энергий соответствующих фотонов:

(5)

В формуле (5) сумма по означает сумму по всем монохроматическим волнам, суперпозиция которых создает электромагнитное поле в полости, а — число фотонов, создающих данную плоскую монохроматическую волну. Таким образом, по самому смыслу, числа являются целыми неотрицательными,

Поэтому полная энергия , в соответствии с формулой (5), может принимать только дискретный ряд значений. Классическая электродинамика справедлива лишь в том случае, когда полная энергия излучения много больше энергии каждого отдельного фотона :

При выполнении этого условия уровни энергии электромагнитного поля расположены, в относительном масштабе энергий, столь близко друг к другу, что их дискретность практически не проявляется. Ясно, что это условие будет заведомо выполнено для достаточно малых частот, т.е. для достаточно больших длин волн.

Так же, как и для вещества, равновесное излучение при температуре фактически может находиться лишь в тех состояниях, для которых по порядку величины не превышает . Поэтому не только для вещества, но и для излучения теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы не может быть справедлива.

Чтобы в этой лекции больше не возвращаться к задаче Кирхгофа, приведем правильную формулу для плотности энергии теплового излучения, которая получается в рамках квантовой теории:

(6)

Эта формула была впервые предложена Максом Планком в 1900г. и называется в его честь. Она полностью соответствует экспериментальным данным для любых длин волн. Легко проверить, что в приближении классической электродинамики Максвелла, т.е. при больших длинах волн, формула Планка переходит в классическую формулу для плотности энергии излучения (2). Более того, сам Планк первоначально фактически угадал формулу (6), анализируя графики экспериментальных кривых . Константа Планка впервые в истории науки появилась именно в этой формуле. Квантовая теория родилась, когда Планк попытался теоретически вывести формулу (6) и обнаружил, что это возможно, только если предположить квантование энергии излучения.