Однако |развитая Коши основополагающая концепция имела уяз­вимое место. Коши доказывал сходимость ряда, используя арифме­тику действительных чисел. Иррациональное число он определил как границу всех таких различных дробей, которые все больше и больше приближают своими значениями иррациональное число " ([14], с. 214). В этом заколдованном круге лежала предпосылка для математических работ Георга Кантора, открывающих новые пути.

Приступая к теоретико-множественным изысканиям, Кантор не догадывался, какие революционные изменения он внесет в сферу ма­тематического мышления, особенно в отношении проблемы бесконечности. Впервые в многотысячелетней истории упомянутой проблемы удалось точно установить различия между "бесконечными количествами", и к тому же выяснить, что это дает для абстракции ступеней бесконечности. Таким образом, с этого времени расплывчатые либо мистифицированные понятия приобрели ясность.

Во всех фазисах научной мысли представления о переходе от конечного к бесконечному, о противоположности непрерывного к дискретного, соответственно, о противоречия между возникновени­ем и бытием играют значительную роль. Представление о бесконеч­ности как о потенциальной бесконечности явно обосновано Аристо­телем в его споре с Платоном и с тех пор - от К.Ф.Гаусса - доминирует в представлениях о бесконечности.

Однобокая концепция бесконечности как потенциальной бесконечности подвергнута критике Георгом Кантором и была развита им дальше введением в рассмотрение актуальной бесконечности. С математической точки зрения этот процесс привел к тому, что своим определением трансфинитных количественных чисел как классов эк­вивалентности бесконечных множеств Кантор обогатил имевшееся традиционнее понятие числа. Он сумел доказать, что не все беско­нечные множества эквивалентны друг другу. Вместе с тем стало возможным рассматривать эквивалентные бесконечные множества как как представителей одних и тех же количественных чисел - и по­строить трансфинитную арифметику (аналогично арифметике натураль­ных чисел). Наряду с обогащением понятия числа, Кантор радикаль­но расширил традиционные представления о бесконечности.

Прогресс научной мысли связан с непрерывным прояснением основных научных понятий, в том числе и понятия бесконечности. Прояснение сущности основного понятия есть не только задача отдельной науки, но обусловлено философским анализом.

А.А.Френкель, один из выдающихся специалистов теории множеств, сравнивал этот научный подвиг (Г.Кантора) с созданием коперниканской системы в астрономии, релятивистской теории или квантовой теории в физике.

Основные теоретико-множественные проблемы, которые Кантор разработал приблизительно к 1873 году, можно сформулировать сле­дующим образом:

• Определение счетных бесконечных множеств:

Множества, которые можно взаимнооднозначно отобразить на множество натуральных чисел. К примеру, множества целых и рациональных чисел. Это множество определяет первое трансфинитное число ( - Алеф, первая буква древнееврейского алфавита).

• Определение несчетных бесконечных множеств:

Бесконечные множества, которые нельзя взаимнооднозначно отобразить на счетное бесконечное множество. Множество вещественных чисел есть несчетное бесконечное множество, иначе говоря, континуум обозначаемый символом .

Взаимнооднозначное соответствие оказывается, вместе с тем, способов устанавливать различия в бесконечностях,

• Континуум-гипотеза..

Кантор предполагал, что нет возможности указать мощность , которая больше, чем мощность  счетного бесконечного множества, но меньше, чем мощность континуума  . Другими словами, он был убежден, что нет  с условием .Несмотря на огромные усилия, Кантору не удалось ни доказать ни опровергнуть континуум-гипотезу. Энергичные попытки доказать ги­потезу, длившиеся несколько лет, завершились после того, как теория .множеств была аксиоматизирована.

Если принять систему аксиом Цермело-Френкеля, то континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Гипотеза Кантора, таким образом, независима от аксиом теории множеств.