Классическая математика, которая в буржуазной философии примыкает к философии Платона (платоническая онтология), характеризуется, например, следующими постулатами;
- объекты математики существуют "в себе"- как платоновские идеи;
- в принципе можно отказаться от действий (операций), то есть классическая математика при трактовке ее в рамках платоновской онтологии, независима от того, имеются ли (в принципе) существа, способные совершить то или иное действие.
В интуиционистском лагере, основанном в 1907 г. нидерландским математиком Л.Я.Брауэром, математика понимается не как теория, а как особый вид деятельности. Эта деятельность заключается в абстрактном конструировании определенных математических объектов из первоначальных объектов. В качестве таковых рассматриваются натуральные числа, существование которых предполагается обеспеченным нашей интуицией.
В противовес классической математике, интуиционисты отказались от общеупотребительности закона об исключенном третьем. Этот отказ связан с отказов от мыслительной допустимости актуальной бесконечности, то есть высказывание в интуиционистской математике для бесконечных множеств не имеет смысла.
Признается необходимым конструктивный (эффективный) метод построения математических объектов. Иначе говоря; в то время как в классической математике отрицание высказывания о несуществовании приводит к высказыванию о существовании, интуиционизм отвергает всеобщность принципа .
Отвергается основанный на нем косвенный метод доказательства, так как невозможно проверить все элементы бесконечного множества относительно какого-либо свойства. Интуиционисты отвергают актуальную бесконечность и рассматривают как допустимую лишь потенциальную бесконечность.
При исследовании математических конструкций понятие "существовать" для интуицониста синонимично понятию "быть сконструированным".
В то время как (в той мере, в какой) классическая математика опирается на идеалистическую философию в ее объективно-идеалистическом варианте, между интуиционизмом и субъективно-идеалистическим образом мышления существует тесная связь. В философском смысле интуиционизм как направление конструктивизма имеет субъективно-идеалистический характер, потому что конструкция рассматривается как "свободное творение" человеческого разума.
Оспаривается любая связь между прогрессом общественной практики и развитием математики, а это указывает на ярко выраженное родство с мировоззрением Маха.
Связь философских идей с господствующими классовыми отношениями особенно отчетливо проявляется в интуиционистской концепции математики, потому что эта философская ориентация полностью соответствует классовому положению буржуазия, которая не сама перерабатывает материальные предметы в общественные потребительские стоимости, а рассматривает их всегда как представителей меновом стоимости, то есть представителей абстракции. Поэтому ей представляется вполне естественным существование материальных предметов в виде таких вот представителей . Так как теперь любая конструкция предполагает наличие уже обработанных элементов, материалистическое осмысление конструктивизма неизбежно должно быть сведено к общественном деятельности. Однако это потребовало бы рассматривать работающих как истинных представителей общественного бытия. Это невозможно с буржуазной точки зрения.
Следовательно, конструктивизм в в рамках буржуазной философии остается лишь субъективным идеализмом .
([21], c.461). Противоречие между двумя концепциями (классическом и конструктивистской) неразрешимо в рамках идеалистического мировоззрения, потому что как объективный, так а субъективный идеализм не принимает фундаментально го положения о том, что математические абстракции в конечном счете происходят из общественной практики.
Более подробно о платонизме, интуиционизме, а также (при другой системе деления) о контенсивизме и формализме cм [39] ,с. 27-39.
Усмотренная здесь Г.Мейером связь интуиционизма с субъективным идеализмом недостаточно прояснена. Как бы ни декларировались интуиционистские доктрины, интуиционизм не заслужил упрека в том, что рассматривает конструкции как "свободное творение человеческого разума". Напротив, интуиционизм резко ограничивает правила построения математических объектов. Можно указать теоремы, признаваемые не-интуиционистами и считающиеся недоказанными интуиционистами. Противоположные примеры вряд ли возможны - разве что появится направление, еще более ограничивающее допустимые правила доказательства). Отличная от данной Г.Мейером оценка интуиционизма содержится, например, во введении Ф.А. Кабакова и Б.А.Кушнера к монографии [40].
.jpg)
От частного направления научной мысли не следует требовать оперативного отклика на изменения во внешней среде. Тем более это относится к теориям, исследующим основания (в данном случае, основания математики). Да и "оспаривается" ли "любая связь между прогрессом общественной практики и развитием математики", как утверждает автор? Кем оспаривается? Во всяком случае, практическая деятельность интуиционистов многое дала для прояснения рекурсии, алгоритма, вычислимости - как раз для целей практики.
Пожалуй, слишком сказано. Чересчур прямолинейно (а главное - ничем не опосредованно) трактуется связь между типом классовых отношений и формированием доктрин, лежащих (да и лежащих ли в действительности?) в основе конкретной науки. Подобный подход в прошлом приводил к атакам против генетики - "буржуазной лженауки" и кибернетики (она ничем не лучше), причем тоже по причине идеалистических концепций, "положенных" в основание этих наук. Действительный методологический фундамент интуиционизма, как нам представляется, следует изучать посредством осмысления и оценки его осязаемой продукции и (это главное) его истории. А ведь в его история есть такие важнейшие вехи, как формализация интуиционистского анализа и построение интерпретаций интуиционистской математики [40]. Игнорировать эти факты -все равно, что изучать философские основания геометрии Лобачевского, не интересуясь ни сиcтемой аксиом Лобачевского, ни интерпретациями Бельтрами, Кэли-Клейна, Пуанкаре и пр. Не случайно еще в 1935 г. А.Марков в редакторском предисловии к [43], полемизируя с Н.Бурбаки [44], предостерегает от упрощенческого взгляда на интуиционизм...