Можно сказать, что определенный синтез этих противоречивых точек зрения нашел свое выражение во взглядах Аристотеля. «Теория бесконечности имеет свои трудности; можно соглашаться или не соглашаться с существованием бесконечности, но все равно это тотчас грозит многими неприятными последствиями»,  ([2], с.68).

Аристотель понимал, что в науке о природе работать с величинами протяженности, движения и времени невозможно, отказываясь от понятия бесконечности. Исследование природы неразрывно связано с исследованием бесконечности. В связи с этим Аристотель заслужил непреходящее признание, проведя исследование логико-онтологического характера бесконечности.

В литературе об исторических и философских аспектах математики зачастую присутствует тезис о том, что для Аристотеля бесконечность имела лишь потенциальный характер, и что он отвергал актуальную бесконечность. Этот взгляд исследователей истории математики верен лишь отчасти. Во-первых, мы должны заметить следующее: «Используемый Аристотелем термин «актуальная бесконечность» не всегда совпадает с понятием актуальной бесконечности в современной математике. Сравнительный анализ употребления этого термина Аристотелем показывает, что термин «актуальный» обозначает у него зачастую «реальный», «действительный» ([1], с.81). Отсюда следует, что бесконечность рассматривается Аристотелем как абстракция в процессе познания, но не как свойство действительности. Применяемым в современном математике термин «актуально-бесконечный», как правило, связан с понятием бесконечного множества. Итак, можно предположить, что Аристотель оперировал теми самыми понятиями, которые впервые точно определены в 19 веке Георгом Кантором.

Примечание

При критическом рассмотрении работ Аристотеля по проблемам бесконечности становится ясным, что он не высказывался против допущения абстракции актуальной бесконечности. Правда, он не допускал существования актуально-бесконечных множеств реально существующих вещей. Аристотель говорил в этой связи также о «чувственно -воспринимаемых величинах», которые существуют не актуально-бесконечно. Поэтому (согласно Аристотелю) математика не имеет оснований для рассмотрения актуально-бесконечных величин. Для исследовательской работы вполне достаточно потенциальной бесконеч­ности.

Как было изложено выше, Евдокс развил так называемый метод исчерпывания для строгого вычисления площадей и объемов. Так как в основу этого метода была положена только лишь абстракция потенциальном осуществимости, не исключено, что Аристотель мог прийти к своем интерпретации бесконечности под влиянием взглядов Евдокса. С другой стороны, отношение Аристотеля к проблематике бесконечности, без сомнения, оказало значительное влияние на всех математиков и философов вплоть до Нового Времени.

Можно считать основную концепцию Аристотеля по вопросам бесконечности и непрерывности как необходимое общественное достояние всех математиков вплоть до 19 века. Разумеется, понятие актуальной бесконечности играло определенную роль в теолого-философских построениях схоластов.

В заключение можно отметить, что понятие как потенциальной так. и актуальной (но иногда с особыми нюансами) бесконечности уже присутствовало в античной мысли.

 

 

 

• • Потенциальная бесконечность мыслится как неограниченно развертывающаяся, но не как завершенная бесконечность.
  • Актуальная бесконечность - имеется в виду завершенная бесконечность. В современном понимании она связывается с бесконечным множеством, которое задано способом его построения.
  • Множество называется бесконечным, если оно содержит в себе равномощное подмножество