Теорема 1.1.

Пусть (x0,y0) `in` R2, F: О(x0,y0) `->` R – непрерывная функция, F(x0,y0) = 0. Пусть непрерывна на О(x0, y0), (x0, y0) ≠ 0. Тогда найдутся `epsi` , `delta` > 0 такие, что существует единственная функция f: (x0– `delta` , x0+ `delta` ) → (y0 – `epsi` , y0+ `epsi` ), y = f  (x), заданная неявно уравнением F(x, y) = 0, причем функция f непрерывна. Если, кроме того, непрерывна на О(x0,y0), то f дифференцируема, причём , где y = f (x).

Пример 1.3. Определяет ли уравнение xey+yеx–2 = 0 неявную функцию y = y(x) в окрестности точки x0= 0?

Решение.

Рассмотрим некоторую окрестность точки M0(0;2) и проверим условия теоремы:

1)    функция F(x,y)=xey+yеx–2 определена и непрерывна вместе со своими частными производными F/x= ey+yex и F/y= xey+ex на R2, а следовательно, и в некоторой окрестности точки M0;

2)    F(0;2) = 0e2+2e0– 2 = 0;

3) F/y (M0)= xey+ex │M0=  1≠0.

Тогда, в соответствии с теоремой 1.1, в некоторой окрестности точки x0 = 0 существует единственная функция y = y(x), определяемая уравнением xey+yеx–2 = 0.

Используя программу Mathematica, мы можем проверить наш вывод, построив неявную кривую xey+yеx–2 = 0.

 

 

* Всюду в тексте ресурса сокращение т. означает " теорема".