Теорема 2.1.

Пусть x₀ `in` Rⁿ, (x₀, y₀)`in` Rⁿ⁺¹, F: О( x₀ ,y₀) → R – непрерывная функция, F(x₀,y₀) = 0.

Пусть непрерывна на О(x₀, y₀), . Тогда найдутся ε, δ > 0 такие, что существует единственная функция f: O (x₀)(δ) → (y₀–ε, y₀+ε), y= f(x₀), заданная неявно уравнением F(x, y) = 0, причем функция f непрерывна. Если, кроме того,  непрерывны на О( x₀, y₀) при всех i `in` {1, 2,…, n}, то f дифференцируема,  , где  y = f (x).

Пример 2.2. Докажите, что уравнение z³–3xyz = 8 определяет единственную дифференцируемую неявную функцию вида z = z(x,y) в некоторой окрестности точки M₀(0;–1;2).

Решение.

Во-первых, функция F(x, y, z)= z³–3xyz– 8 определена и непрерывна вместе со своими частными производными  F^/_x = –3yz, F^/_y = –3xz, F^/_z = 3z²–3xy всюду на R³, в том числе и в некоторой окрестности точки M₀(0;–1;2).

Во-вторых, F(M₀) = 8 – 8=0.

В-третьих, F^/_z (M₀) = 12≠0.

Все условия теоремы выполняются, следовательно, найдется такая окрестность точки (0; –1), в которой уравнение  z³–3xyz = 8 определяет единственную дифференцируемую функцию z = z(x,y) .

Программа Mathematica позволяет убедиться в правильности нашего вывода. Кроме того, из графика видно, что не во всех точках поверхности z³–3xyz = 8 будет существовать функция z = z(x,y) .