Тема. Решение задач по теме "Интерференция в тонких пластинках. Кольца Ньютона".

Цели:

- рассмотреть условия максимума и минимума интерференции в тонких плоскопараллельных и клиновидных пластинках,

- рассмотреть условия получения колец Ньютона, определение радиуса колец.

Ход занятия.

В ходе проведения занятия необходимо рассмотреть ряд качественных задач и далее решить несколько расчетных задач по мере возрастания их сложности.

Перед решением задач необходимо повторить основные условия, при которых наблюдается интерференция: когерентность волн, длина когерентности, условия максимума и минимума интерференции.

Обратите внимание на метод получения когерентных волн в рассматриваемых задачах - метод деления амплитуды.

Несколько задач предлагается с объяснением их решения. В задачах рассмотрено получение полос равного наклона (плоскопараллельная пластинка) и равной толщины (оптический клин и кольца Ньютона). Получены условия максимума и минимума интерференции в проходящем и отраженном свете.

Качественные задачи.

1. Если на влажный асфальт упадет капля бензина, то получившееся пятно в солнечном свете окрашивается в различные цвета. Объясните явление/.

2. Если поверхность оптического стекла покрыть прозрачной пленкой, показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла, а толщина пленки равна (λ-длина волны падающего света), то поверхность стекла вовсе не будет отражать свет, то есть весь свет будет проходить через стекло. Объясните смысл такого приема "просветления" объективов современных оптических приборов.

3. Выдувая мыльный пузырь и наблюдая за ним в отраженном свете, можно заметить на его поверхности радужные цвета. Объясните это явление.

Примеры решения расчетных задач

Задача 1. Пленка с показателем преломления n = 1,5 освещается светом с длиной волны λ=6 ·10^-5 см. Световые волны распространяются по нормали к поверхности пленки. При каких толщинах d пленки интерференционные полосы, наблюдаемые на ее поверхности, исчезают?

Решение:

Из падающей по нормали на поверхность пленки волны после отражения образуются две когерентные волны 1 и 2 ( рис . 1 ). Оптическая разность хода между ними с учетом потери в точке С равна . Для светлых полос Δ = k λ, то есть .

Минимальная толщина пленки, при которой наблюдаются светлые полосы в отраженном свете на поверхности пленки, соответствует k = 0, следовательно,. Если , полосы исчезают . Таким образом,

м = 10^-4 мм.

Ответ: м = 10^-4 мм.

Задача 2. На мыльную пленку падает белый свет под углом α = 45^о . При какой наименьшей толщине d пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет λ=600 нм. Показатель преломления мыльной воды n = 1,33.

Решение:

Лучи 1 и 2, образовавшиеся из луча I, когерентны, поэтому в точке схождения они могут интерферировать (рис. 2). Для этого на пути лучей 1 и 2 ставят собирающую линзу, за линзой в фокальной плоскости помещают экран. В зависимости от оптической разности хода на экране наблюдают интерференционные максимумы и минимумы в виде полос, соответствующих данному углу падения α т.к. именно α определяет разность хода.

Проведем фронт волны ВС и выразим разность хода между лучами 1 и 2 в точках В и С. Оптическая разность хода

. (1)

Здесь величина обусловлена потерей полуволны в точке О при отражении луча 1 от оптически более плотной среды.

Из прямоугольных треугольников ОАК и ОСВ находим АО и СО и подставляем в (1).

Интерференционный максимум наблюдается, если Δ=k λ ,то есть

.

Где k = 0, 1, 2, … Минимальная толщина пленки соответствует k = 0. Отсюда минимальная толщина пленки, соответствующая максимальной освещенности в отраженном свете, будет равна

. (2)

Выразим cosi через n и α, воспользовавшись законом преломления , откуда

.

тогда минимальная толщина пленки, соответствующая максимальной освещенности в отраженном свете, равна

м = 130 нм. (3)

Если волна падает по нормали ( α = 0),для d_min получим, как и в Задаче 1

.

Найдем разность хода между лучами 1 и 2 в проходящем свете (рис. 2). В этом случае Δ =2АВ n - AD. Выразив АВ и AD из прямоугольных треугольников ADF и ABG, получим:

.

Если , то в проходящем свете наблюдаем минимальную освещенность, если , то максимальную. Найдем d_min, соответствующую минимальной освещенности в проходящем свете. Воспользуемся условием минимума , откуда

- соответствует минимуму освещенности в проходящем свете, k = 0, 1, 2, … Тогда минимальная толщина пленки, соответствующая k = 0, будет равна

. (4)

Из сравнения (2) и (4) видно, что условия максимума освещенности в отраженном свете и минимума - в проходящем свете совпадают, им соответствует одинаковая толщина пленки.

Ответ:

.

Задача 3. Плоская волна λ= 582 нм падает по нормали к поверхности стеклянного клина (n = 1,5). Угол клина α=20" . Какое число темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Картина наблюдается в отраженном свете.

Решение:

Луч, падающий в точку А, частично отражается от верхней грани клина с потерей λ/2, частично проходит к нижней грани клина, на которой снова преломляется и отражается, но без потери λ/2, так как он отражается от менее плотной среды (рис. 3). Таким образом, в точке А сходятся два когерентных луча 1 и 2, имеющие разность хода

. (5)

Оптическая разность хода Δ₁ соответствует интерференционному минимуму, если

. (6)

Из (5) и (6) получим Следующая k + 1 полоса тоже удовлетворяет условию минимума .Расстояние l₀ между этими полосами найдем из треугольника АВС:

; ; .

Зная l₀, найдем число полос N, приходящихся на единицу длины клина:

.

Полосы темные и светлые имеют одинаковую ширину, расположены параллельно ребру клина, по мере удаления от вершины клина полосы размываются и исчезают. Исчезновение полос происходит тогда, когда разность хода превышает длину когерентности интерферирующих лучей.

Ответ:

.

Задача 4. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R = 15 м. Наблюдение колец Ньютона ведется в отраженном свете. Определите длину волны λ монохроматического света, если расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона равно l= 9 мм.

Решение:

Разность хода между когерентными лучами 1 и 2, образовавшимися из луча I после отражения в точках С и D (с учетом потери λ / 2 в точке D лучом 2), равна (рис. 4)

. (7)

где n - показатель преломления воздушного зазора. Геометрическое место точек, имеющих одинаковое значение b, - окружность радиуса r_k . Из треугольника ОВС

. Пренебрегая b² из-за малости, получим

. (8)

Если кольца светлые, то оптическая разность хода ,и из (7) после подстановки b и Δполучим для n = 1:

.

По условию , то есть

.

Возведем в квадрат обе части и выразим λ :

.

Ответ:

.

Задача 5. Установка для получения колец Ньютона освещается светом с длиной волны λ = 589 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R = 10 м. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью.Найдите показатель преломления n жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете r₃= 3.65 мм.

Решение:

При наблюдении колец Ньютона в проходящем свете радиус r_k светлого кольца определяется как радиус темного в отраженном свете по формуле

.

Отсюда

.

Ответ:

.

Задача 6. На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса r₀ = 3,0 мм, которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы R = 150 см. Найдите радиус шестого светлого кольца при наблюдении в отраженном свете с длиной λ= 655 нм.

Решение:

Из Задачи 4, используя формулу (8), можно записать (рис. 5):

; .

Отсюда

.

По формуле (7) . Подставив b_k , выразим

.

Ответ:

.

Задачи для самостоятельной работы

1. Зимой на стеклах трамваев и автобусов образуются тонкие пленки наледи, окрашивающие все видимое сквозь них в зеленоватый цвет. Оцените, какова наименьшая толщина этих пленок, если показатель преломления наледи принять равным n = 1,33; длину волны зеленого цвета λ_зел = 530 нм.

Ответ:

d_min ≈5 10^-4 мм.

2. В установке для получения колец Ньютона, находящейся в воздухе, монохроматический свет падает по нормали к поверхности пластинки. Радиусы двух соседних колец, наблюдаемых в отраженном свете, равны r_k = 4,0 мм и r_k+1 = 4,38 мм. Найдите порядковые номера колец и длину волны λ падающего света.

Ответ: k = 5; k + 1 = 6; λ = 500 нм.

3. В установке для получения колец Ньютона, находящейся в воздухе, монохроматическая волна с длиной волны λ = 600 нм распространяется по нормали к поверхности пластинки. Найдите толщину воздушного слоя между линзой и пластинкой в точках, где наблюдаются четвертое светлое и четвертое темное кольца в отраженном свете.

Ответ: 1,05· 10 ^-3 мм; 1,2 ·10 ^-3 мм.

4. В установке для получения колец Ньютона пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено водой с показателем преломления n = 1,33. Монохроматический свет с длиной волны λ = 500 нм распространяется по нормали к поверхности пластинки. Найдите толщину слоя воды в тех точках, где наблюдается третье светлое кольцо в отраженном свете.

Ответ: 470 нм.

5. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. Свет ртутной лампы с длиной волны λ = 546,1 нм падает перпендикулярно к поверхности пленки. При наблюдении интерференционных полос в отраженном свете оказалось, что расстояние между пятью полосами равно l = 2 см. Найдите угол клина. Показатель преломления мыльной воды n = 1,33.

Ответ: 11".

6. Пучок белого света падает по нормали к поверхности стеклянной пластинки d = 0,4 мкм. Показатель преломления стекла n = 1,5. Какие длины волн λ , лежащие в пределах видимого спектра (от 400 до 700 нм), усиливаются в отраженном свете?

Ответ: 480 нм.

Рекомендуемая литература

1. Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учебн. для общеобразоват. учреждений. - 2-е изд., дополн. - М.: Дрофа, 2004. - С. 281-306.

2. Элементарный учебник физики /Под ред акад. Г.С. Ландсберга. - Т. 3. - М.: Физматлит, 2000 и предшествующие издания.

3. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т. 2. Электродинамика. Оптика. - М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний; СПб.: Невский диалект, 2001. - С. 269-276.

4. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. Задачник по физике. - М.: Физматлит, 2005. - С. 215-237.

5. Буховцев Б.Б., Кривченков В.Д., Мякишев Г.Я., Сараева И.М. Задачи по элементарной физике. - М.: Физматлит, 2000 и предшествующие издания.