Тема. Решение задач по теме "Гидростатика и гидродинамика".


Цели:

  • - рассмотреть основные приемы решения расчетных задач на тему "Гидростатика и гидродинамика".

Ход занятия

В ходе проведения занятия необходимо рассмотреть ряд качественных задач и далее решить несколько расчетных задач.

Прежде чем приступить к выполнению задания, следует повторить основные законы гидромеханики.

Основной закон гидростатики - закон Паскаля, согласно которому в состоянии равновесия давление жидкости в данной точке не зависит от ориентации площадки, на которую она действует.

Поскольку в школьном курсе рассматривается стационарное течение несжимаемой жидкости, то будет справедливо уравнение неразрывности струи.

Для идеальной жидкости выполняется уравнение Бернулли. Покажите, что уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии.



Качественные задачи

  1. К концам равноплечного рычага подвесили две одинаковые гири. Что произойдет, если одну гирю поместить в воду, а другую в керосин?

    Ответ: равновесие нарушится.

  2. Почему, если близко стоишь около быстро идущего поезда, возникает эффект "притягивания" к колесам?

    Ответ: проходящий поезд увлекает за собой примыкающие к нему слои воздуха. Воздух, движущийся между человеком и поездом, оказывает на него меньшее давление, чем неподвижный. Эта разность давлений и обусловливает силу, увлекающую человека к поезду.

  3. При испытании реактивного снаряда, установленного в хвосте самолета для защиты его от нападения сзади, был обнаружен удивительный факт: при пуске снаряд разворачивался и догонял свой самолет. Как можно объяснить это явление?
  4. Проделайте эксперимент. Вложите в воронку бумажный фильтр (рис. 1) и попробуйте выдуть его через узкий конец воронки. У вас не получилось? Почему?

    Ответ: чем сильнее вы вдуваете воздух, тем плотнее фильтр входит в воронку. Объясняется это с помощью закона Бернулли, согласно которому давление понижается в местах сужения. В узком просвете между воронкой и бумажным фильтром давление понижается, и внешнее атмосферное давление удерживает фильтр в воронке.



Примеры решения расчетных задач


Задача 1. Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда S1, сечение струи S2 (рис. 2). Найдите ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде.

Решение:

Будем считать жидкость несжимаемой. Тогда для каждого момента времени, согласно уравнению неразрывности струи, можно записать

S1v1 = S2v2, (1)
где v1 - скорость воды в сосуде, v2 - скорость воды в струе вблизи отверстия.
Возьмем производную по времени от (1)

,
где - ускорение воды в сосуде, - ускорение свободного падения, так на выходе из сосуда вода начинает свободно падать. Таким образом,

.

Ответ: .



Задача 2. В сосуде с жидкостью сделано отверстие площадью S. Размеры отверстия малы по сравнению с высотой столба жидкости. В одном случае отверстие закрыто пластинкой и измеряется сила давления жидкости на пластинку F1 при высоте столба жидкости h (рис. 3). В другом случае тот же сосуд стоит на тележке, отверстие открыто, и измеряется сила отдачи F2 при установившемся токе жидкости в момент, когда высота столба жидкости будет та же, что и в первом случае. Будут ли силы F1 и F2 равны?

Решение:

Согласно закону Паскаля давление на жидкость передается во всех направлениях одинаково, поэтому в первом случае давление, производимое на пластинку жидкостью, равно гидростатическому давлению столба жидкости высотой h, а значит, F1 = ρghS , где ρ - плотность жидкости.

Во втором случае сила F2 согласно второму закону Ньютона равна изменению импульса жидкости в единицу времени

.
Изменение импульса Δp = Δmv , где Δm - масса жидкости, вытекающей в единицу времени, v - скорость истечения жидкости из отверстия.
Масса вытекающей жидкости Δm = ρgS, скорость истечения согласно формуле Торричелли . Следовательно,

F2 = ρv2S = 2ρghS.

Таким образом, F2 = 2F1 . Объяснить это можно так. Когда жидкость вытекает из малого отверстия, линии тока вблизи него сгущаются, а значит, как следует из уравнения Бернулли, давление на стенку вблизи отверстия уменьшается. Поэтому сила реакции вытекающей струи оказывается больше силы статического давления на площадь отверстия.

Ответ: силы F1 и F2 не равны.



Задача 3. Из крана выливается вода. Начиная с некоторого места, диаметр струи уменьшается на протяжении h от а до b (рис. 3). Сколько воды вытечет из крана за время t?

Решение: Воспользуемся условием стационарности течения несжимаемой жидкости

. (1)
Для идеальной жидкости справедливо уравнение Бернулли:

.
Поскольку жидкость свободно падает, то давления в обоих сечениях одинаковы, и уравнение Бернулли принимает вид:

. (2)
За время t через любое сечение протекает один и тот же объем воды, поэтому можно записать

. (3)
Выразим скорость v1 из (1) и (2):

.
Подставим полученное значение v1 в (3) и получим окончательный ответ:

.

Ответ: .



Задача 4. Площадь поршня в шприце S1 = 2 см2, а площадь отверстия S2 = 1 мм2 (рис. 4). Сколько времени будет вытекать вода из шприца, если действовать на поршень с силой F = 5 H и если ход поршня l = 5 см?

Решение:

Так как из шприца вытечет вся находившаяся в нем жидкость, то

S1l = S2v2t, (5)
где v2 - скорость истечения струи. Будем считать жидкость идеальной, тогда можно использовать уравнение Бернулли:

.
Шприц расположен горизонтально, следовательно, h = const. Уравнение Бернулли тогда запишется следующим образом:

, (6)
где Ра - атмосферное давление, а v1 - скорость движения поршня. Из уравнения неразрывности следует

S1v1 = S2v2. (7)
Решая совместно уравнения (6) и (7), получим

,
отсюда

.
Подставляя найденное значение v2 в (5), получим

.
Так как S2 << S1 , то можно записать

.

Ответ:





Задачи для самостоятельной работы


  1. "Вечерело. Уставший за нелегкий трудовой день Абдулла Ибн Сауд присел на берегу реки и стал обдумывать свой социальный статус. В колхоз не берут, кооперативы эмир разогнал, к нему самому на службу устраиваться - так стражники без золотых во дворец не пускают. Эх, жизнь… Но тут взгляд Абдуллы остановился: по реке плыл какой-то предмет, и лишь маленький кусочек сургуча был виден над водой. Абдулла бросился в воду и вытащил оттуда старинный глиняный кувшин, герметично закупоренный сургучом. Распечатав кувшин и перевернув его, Абдулла обомлел: сверкнуло золото. Из кувшина высыпалось 147 одинаковых золотых монет. Монеты Абдулла спрятал, а сосуд запечатал и бросил обратно в воду. Поплыл сосуд дальше, примерно треть его объема торчало над водой". Так говорится в одной из восточных сказок. Предполагая, что кувшин был двухлитровый, оцените массу одной золотой монеты.

    Ответ: m = 4,45 г.

  2. На некоторых железных дорогах пополнение паровозного котла водой производится без остановки паровоза. Для этой цели применяется изогнутая под прямым углом труба, которая опускается на ходу паровоза в канаву с водой, проложенную вдоль рельсов. При какой скорости паровоза вода может подняться на высоту 3 м?

    Ответ: v = 28 км/ч.

  3. Из поднятого на высоту h резервуара выходит труба постоянного сечения S, переходящая в короткую трубу сечением S1, перекрытую краном. Найдите давление в магистральной трубе при открытом кране.

    Ответ: Р = Ратм + ρgh.

  4. Определите расход воды Q, протекающей через слив плотины, имеющей ширину l, глубину потока d и понижение уровня потока по сравнению с уровнем воды в водохранилище, равное h.

    Ответ: Q = ρdl·√(2gh).

  5. Какова примерно скорость катера, если при его движении вода поднимается вдоль его носовой части на высоту h = 1 м?

    Ответ: v ≈ √(2gh) ≈ 4,4 м/с.

  6. На гладкой горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд с водой. В боковой стене сосуда у дна имеется отверстие площадью S0. Какую силу нужно приложить к сосуду в горизонтальном направлении, чтобы удержать его в равновесии? Площадь поперечного сечения сосуда равна S, высота столба жидкости h.

    Ответ: .

  7. На поршень шприца площади S действует сила F. С какой скоростью v должна вытекать в горизонтальном направлении струя из отверстия иглы площади s? Плотность жидкости ρ. Трением пренебречь.

    Ответ: . Если s << S, то .





Рекомендуемая литература

  1. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т. 1. Механика. - М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний; СПб.: Невский диалект, 2001. - С. 332-352.
  2. Физика. Механика / Под ред. Г.Я. Мякишева. - М.: Просвещение, 1995. - С. 420-436.
  3. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. Задачник по физике. - М.: Физматлит, 2005. - С. 63-67.
  4. Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. - М.; Ростов н/Д: Издательский центр "Март", 2004. - С. 184-212.