Тема. Решение задач по теме «Неинерциальные системы отсчета».

Цели:

-            рассмотреть силы инерции, которые вводятся для описания движения в неинерциальных системах отсчета, движущихся поступательно с ускорением или вращающихся относительно инерциальных систем отсчета; 

-            показать на нескольких примерах методы решения задач в неинерциальных системах отсчета.

 

Ход занятия

Прежде чем приступить к выполнению задания, следует рассмотреть на примере качественных задач два типа неинерциальных систем отсчета:

-               системы, движущиеся относительно какой-либо инерциальной системы отсчета, например Земли, прямолинейно и ускоренно;

-               системы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью относительно какой-либо инерциальной системы отсчета.

 

Качественные задачи

1.      Можно ли в вагоне движущегося поезда с помощью отвеса обнаружить наклон железнодорожного полотна на повороте?

2.      Пусть система отсчета, связанная с Землей, является инерциальной. Можно ли считать инерциальной систему отсчета, связанную с автомобилем, если он

а) движется равномерно по прямолинейному участку шоссе;

б) разгоняется по прямолинейному участку шоссе;

в) движется равномерно по извилистой дороге;

г) по инерции вкатывается на гору.

3.      Закрытый фонарь со свечой движется прямолинейно с ускорением. Можно заметить, что при этом пламя наклоняется в направлении ускорения движения. Как объяснить явление?

4.      Куда отклонится пламя свечи в фонаре, находящемся на вращающейся карусели?

5.      Автомобиль делает резкий поворот. Пассажир, сидящий у правой стенки,  оказался прижатым к ней. В какую сторону сделал поворот автомобиль?

6.      Почему в северном полушарии река подмывает правые берега?

7.      В какую сторону будет смещаться относительно Земли реактивный снаряд, пущенный вдоль меридиана?

 

Примеры решения расчетных задач

Задача 1. Тело находится в покое на вершине наклонной плоскости (рис. 1). За какое время тело соскользнет с плоскости, если плоскость в момент времени t = 0 начнет двигаться влево в горизонтальном направлении с ускорением а = 1 м/с²? Длина плоскости , угол наклона плоскости к горизонту a = 30°, коэффициент трения между телом и плоскостью m = 0,6.

Систему отсчета удобно связать с наклонной плоскостью. Но плоскость движется с ускорением по отношению к Земле. Для рассматриваемого движения Земля является инерциальной системой отсчета. Следовательно, система отсчета, связанная с наклонной плоскостью, неинерциальна, и в уравнении движения тела необходимо ввести поступательную силу инерции.

Таким образом, на движущееся тело в системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью, действуют четыре силы: сила тяжести , сила нормальной реакции , сила трения  и поступательная сила инерции  (рис. 2). Уравнение движения тела запишется следующим образом:

,                           (1)

где  – ускорение тела.

Спроецируем уравнение (1) на ось Х, направленную вдоль наклонной плоскости, и перпендикулярную к ней ось Y.

,

.

Учитывая, что , из этой системы уравнений получим

.

Так как ускорение  не зависит от времени, то время движения тела по наклонной плоскости будет равно

.

Ответ: .

 

Задача 2. Мотоциклист движется по горизонтальной плоскости, описывая окружность радиуса R = 100 м. Коэффициент трения колес о почву m = 0,4. На какой угол a  от вертикали должен отклониться мотоциклист при скорости v₁ = 20 м/с? С какой максимальной скоростью он может ехать по заданной окружности?

Решение:

Считаем мотоциклиста и мотоцикл единым телом. На него действуют: сила тяжести , сила нормальной реакции , сила тяги двигателя, сила трения качения, направленная по касательной к траектории, сила трения покоя , направленная к центру окружности (рис. 3), (сила тяги двигателя и сила трения качения на рисунке не указаны). Так как скорость мотоциклиста постоянна по величине, то сила тяги и сила трения качения друг друга компенсируют. Сила нормальной реакции и сила трения покоя создают вращающий момент относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс движущегося тела. Свяжем систему отсчета с этой осью. Так как центр масс тела движется по окружности относительно Земли, то есть имеет нормальное ускорение, то выбранная система отсчета будет неинерциальной. Она вращается относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей, а значит, на движущееся в ней тело будет действовать центробежная сила инерции .

Будем полагать, что линейные размеры мотоциклиста много меньше радиуса окружности, а значит, все точки тела будут двигаться с одинаковым ускорением. Тогда центробежная сила инерции определится выражением , где m – масса движущегося тела, w – угловая скорость вращения этого тела. Центробежная сила приложена в центре масс тела, то есть проходит через горизонтальную ось вращения, связанную с центром масс тела, а значит, ее момент относительно этой оси равен нулю. Условие отсутствия вращательного движения запишется следующим образом:

,

где  – расстояние от почвы до центра масс тела, измеренное вдоль прямой, проходящей через точку опоры и центр масс тела. Отсюда

.                                                                                     (2)

Чтобы найти  и N, воспользуемся тем фактом, что в рассматриваемой неинерциальной системе отсчета мотоциклист неподвижен, а значит, результирующая сила, действующая на него, равна нулю. С учетом того, что действующие по касательной к траектории силы компенсируют друг друга, это запишется так:

.

Спроецируем это равенство на горизонтальную ось Х, направленную к центру окружности, и вертикальную ось Y.

Отсюда 

.

Подставим полученные выражения в (2), тогда получим

.

Чтобы найти максимальное значение скорости, с которой может ехать велосипедист, воспользуемся тем, что максимальное значение силы трения покоя

.

Проскальзывания не будет, если

,

или

.

Таким образом,

 м/с.

Ответ: ;  м/с.

 

Задача 3. Два шарика, связанных нитью, могут скользить по гладкому стержню. Каково отношение масс шариков, если при их вращении они остаются в равновесии, когда один из них находится на расстоянии R₁ = 7 см, а второй на расстоянии R₂ = 14 см от оси вращения?

Решение:

Будем решать задачу в системе отсчета, связанной со стержнем. Шарики относительно стержня покоятся. Такая система отсчета является неинерциальной: она вращается относительно Земли. Поэтому на каждый шарик в горизонтальном направлении помимо силы натяжения нити будет действовать центробежная сила инерции.

,

где  – угловая скорость вращения стержня относительно Земли, R – радиус окружности, по которой движется шарик. Силы натяжения, действующие на каждый шарик, равны по величине. Так как шарики неподвижны, то будут равны по величине и центробежные силы инерции, действующие на шарики:

.

Следовательно,

.

Ответ: .

 

Задача 4. Куб, наполовину заполненный водой, двигают горизонтально с ускорением а. Найдите угол наклона жидкости к горизонту.

Решение:

Выберем в качестве тела отсчета куб. Такая система отсчета будет неинерциальной. Она движется поступательно с ускорением а относительно системы отсчета, связанной с Землей, которую можно считать инерциальной для описания рассматриваемого движения. Для описания движения в такой системе отсчета необходимо ввести поступательную силу инерции . Жидкость в выбранной системе отсчета покоится.

Выберем два очень узких столбика жидкости – вертикальный и горизонтальный. На рис. 4 они показаны заштрихованными полосками. Так как эти столбики неподвижны, то результирующая сила, действующая на каждый столбик, равна нулю.

На вертикальный столбик вдоль оси Y действует сила тяжести и силы давления на верхнее и нижнее основание. Поэтому условие его равновесия запишется так:

,

где  – давление на нижнее основание,  – атмосферное давление,  – масса столбика, S – площадь его поперечного сечения. Здесь учтено, что сила давления на верхнее основание равна , а ее проекция на ось Y равна .

На горизонтальный столбик вдоль оси X действуют силы давления и поступательная сила инерции. Условие равновесия этого столбика имеет вид:

,

где  – давление на столбик вблизи , равное атмосферному давлению,  – масса горизонтального столбика.

Массы столбиков будут равны: , , где  – плотность воды,  и  – длина горизонтального и вертикального столбиков соответственно.

Подставим значения  и  в условия равновесия выделенных столбиков жидкости. Тогда условия равновесия столбиков  запишутся следующим образом:

,

.

Сложив два последних соотношения, получим

.

Отсюда

; .

Ответ: .

 

Задачи для самостоятельной работы

1. Наклонная плоскость с углом наклона  движется с ускорением  в указанном направлении (рис. 5). При некотором значении ускорения  тело, лежащее на наклонной плоскости, начинает равномерно скользить вверх. Коэффициент трения тела с плоскостью – m. Определите _.

Ответ: .

 

2. На поверхности Земли на широте  лежит груз массой . Найдите силу  нормального давления груза на Землю (вес тела) и силу трения покоя . Радиус Земли R.

Ответ: , . Здесь  – угловая скорость вращения Земли.

 

3. Муфточка А может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса R (рис. 6). Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси . Найдите угол , соответствующий устойчивому положению муфточки.

Ответ: если , то существуют два положения равновесия:  и . Если , то будет только одно положение равновесия . Если существует только нижнее положение равновесия, оно устойчиво. При появлении второго положения равновесия (оно всегда будет устойчивым) нижнее положение равновесия становится неустойчивым.

 

4. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами  и , Кабина начинает подниматься с ускорением . Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найдите:

а) ускорение груза  относительно кабины;

б) силу , с которой блок действует на потолок кабины.

Ответ: .

 

Рекомендуемая литература

1.      Физика. Механика / Под ред. Г.Я. Мякишева. – М.: Просвещение, 1995. – С. 245–259.

2.      Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. Задачник по физике. – М.: Физматлит, 2005. – С. 63–67.

3.      Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. – М.; Ростов н/Д: Издательский центр «Март», 2004. – С. 184–212.