|
Тема. Решение задач по теме «Динамика материальной точки и системы материальных точек». Цели: - на примере конкретных задач рассмотреть запись уравнения Ньютона с последующим проецированием его на оси выбранной системы координат, - рассмотреть способы решения задач на различные виды движения. Ход занятия Для решения задачи рекомендуется выполнить следующие действия. - Выбрать инерциальную систему отсчета. - Рассмотреть все силы, действующие на каждое тело системы. Для каждой силы указать ее источник. - Сделать чертеж, на котором указать все действующие на тела системы силы и направления ускорений. - Записать для каждого тела основное уравнение динамики в векторной форме. - Выбрать систему координат, на оси которой спроецировать векторное уравнение движения. Выбор осей определяется соображениями удобства, то есть уравнение движения, спроецированное на эти оси, должно иметь максимально простой вид. Если движется система тел, то для каждого тела можно выбирать свою систему координат. Одну из осей чаще всего удобно направить вдоль ускорения тела. Если тело движется по окружности, то одну из осей следует провести через центр окружности. - Полученные уравнения дополнить соотношениями, вытекающими из условия задачи: связью между силой трения и силой реакции опоры, третьим законом Ньютона и т.д. - При необходимости добавить кинематические уравнения. - Решить полученную систему уравнений относительно искомой величины в общем виде. - Оценить правдоподобность полученного результата с помощью метода размерностей. - Подставить численные значения, предварительно убедившись, что все данные взяты в одной системе единиц. - Полученный результат проанализировать на соответствие физическому смыслу при различных значениях входящих в него параметров. Качественные задачи 1. Каким способом можно установить, находится данное тело в инерциальной системе отсчета или в неинерциальной? 2. В каких случаях герои известной басни Крылова лебедь, рак и щука действительно не сдвинут воза, если считать, что силы их равны, и трение между возом и землей отсутствует? 3. Почему бегущий человек, стремясь быстро и круто обогнуть дерево или столб, обхватывает его рукой? 4. Можно ли поднять тело с земли, приложив к нему силу, равную силе тяжести? 5. Зачем для передвижения тяжелого груза под него кладут катки? 6. Для чего «разводят» пилы, то есть соседние зубья наклоняют в противоположные стороны? 7. Дайте физическое обоснование пословице: «Коси коса, пока роса, роса долой, и мы домой». 8. На нити висит тело А. К телу А на пружине подвешено тело В. С одинаковым ли ускорением будут падать тела, если пережечь нить подвеса? 9. При прополке посевов вручную сорняки не следует выдергивать слишком быстро из земли. Почему? 10. Почему, прыгнув с большой высоты на натянутый брезент, можно остаться невредимым? 11. Как ослабляют силу со стороны тяжелого мяча, когда его ловят руками? 12. Забить гвоздь в фанерную стенку трудно – при ударе фанера прогибается. Однако гвоздь удается забить, если с противоположной стороны стенки поместить массивное тело, например, топор. Как это объяснить? 13. Теплоход при столкновении с лодкой может потопить ее без всяких для себя повреждений. Как это согласуется с равенством действия и противодействия? 14. Герой одного из рассказов Э. Распэ барон Мюнхгаузен рассказывает: «Схватив себя за косичку, я изо всех сил дернул вверх и без большого труда вытащил из болота и себя, и своего коня, которого крепко сжал обеими ногами, как щипцами». Можно ли таким способом поднять себя? 15. Метеорит сгорает в атмосфере, не достигая поверхности Земли. Что происходит при этом с его импульсом? 16. От чего зависит скорость движения ракеты в отсутствие внешних сил? 17. Почему легче отвернуть гайку длинным ключом, чем коротким? Примеры решения расчетных задач Задача 1. Горизонтальная доска имеет ступеньку высотой Н, в которую упирается свободно лежащий на доске однородный цилиндр радиуса R > H. Доску двигают горизонтально с ускорением (рис. 1). Найдите максимально возможное ускорение, при котором цилиндр еще не будет подниматься на ступеньку. Трением пренебречь. 
Решение: На цилиндр действуют сила тяжести
Спроецируем это уравнение на координатные оси X и Y:
где a – угол, который образует вектор Поскольку в задаче нужно найти максимальное ускорение движения доски,
при котором цилиндр еще не начинает подниматься на ступеньку, то этому
критическому моменту соответствует
Решая их
совместно, получим
Тогда ускорение, с которым будет двигаться доска, определится соотношением
Ответ: максимально возможное ускорение Задача 2.
В сосуде с жидкостью ко дну на нити длиной Решение: 
На шарик,
погруженный в жидкость, действуют сила тяжести, сила Архимеда
Спроецируем это уравнение на оси X и Y. Поскольку шарик движется по окружности, то ось X целесообразно провести через центр этой окружности.
Решая эту систему уравнений и учитывая, что
Ответ: Задача 3. Тонкое резиновое кольцо радиуса Решение: Чтобы можно было воспользоваться основным уравнением динамики, разобьем
кольцо на N малых
элементов так, чтобы можно было считать, что все точки такого элементарного
участка движутся с одинаковым ускорением. Пусть такой элементарный участок
стягивается углом a. На него со стороны
соседних элементов действуют силы упругости
|
и две силы реакции опоры 
и 
(рис. 2). В
системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения цилиндра имеет вид 
.
,
, то есть нижняя точка будет
находиться на грани отрыва от доски. Тогда уравнения движения примут вид:
.
. Угол 
,
.
прикреплен шарик массой m
и радиусом r. Сосуд начинают вращать с угловой скоростью 
. 
и сила натяжения
нити 
(рис. 3).
В системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения запишется следующим
образом:
.
.
, 
, получим
.
раскрутили до
угловой скорости 
и 
, направленные по касательной к
окружности (рис. 4). Основное уравнение динамики для выбранного элемента
запишется следующим образом: 
,
.
. В силу малости угла 
,
– жесткость этого
участка, 
–
его длина в недеформированном состоянии. Просуммировав соотношения Гука по всем
элементам кольца, получим 
. Масса элементарного участка будет
равна 
.
Тогда основное уравнение динамики примет вид
.
,
следовательно, можно записать
,
.
. В противном случае будет иметь
место необратимая деформация кольца. 
, а скорость 10 км/с, попадает в
облако микрометеоров. В одном кубометре пространства содержится один микрометеор.
Масса каждого микрометеора m = 0,022 г. На сколько должна
возрасти сила тяги, чтобы скорость корабля не изменилась? Удар микрометеоров об
обшивку корабля считаем неупругим.
,
– изменение импульса микрометеоров,
столкнувшихся с кораблем за время 
,
– концентрация микрометеоров, то 
. Тогда
окончательно получим 
.
?
.
и сила реакции опоры 
(рис. 5):
.
.
,
, 
, тогда 
.
.
, (1)
– сила давления на воду со стороны стенки трубы в месте закругления, 
. (2)
перпендикулярна 
(рис. 6), 
, то 
. (3)
.
, 
.
. Тогда закон сохранения импульса в
момент выстрела запишется в виде:
,
.
и 
(рис. 8). Массы блока и нити
пренебрежимо малы, трения нет. Найдите ускорение центра масс этой системы. 
, (4)
– ускорение, с
которым движется центр масс системы, 
и 
– силы натяжения нитей, приложенные
соответственно к первому и второму телу. Так как силы натяжения неизвестны,
запишем уравнение движения для каждого тела 
(5)
. (6)
(7)
, 
. С учетом этого система уравнений
(7) перепишется в следующем виде:
. Решая ее, получим следующее
выражение для ускорения, с которым движется центр масс:
.
– сила тяжести,
действующая на стержень; 
– сила трения со стороны листа на
стержень, 
– сила трения, действующая на лист
со стороны стержня; 
.
,
. Согласно
третьему закону Ньютона 
. Тогда получается следующая система
уравнений:
,
.
изменятся
на противоположные, и получится система уравнений:
.
,
то знаменатель обращается в нуль, а 
, а если 
, то знаменатель будет
отрицательным, и система уравнений не имеет физических решений.
.
, ускорение направлено вниз.
.
.
.
.
рад/с.