Математическое моделирование многих задач механики, физики, химии и других областей науки и техники приводит к дифференциальным уравнениям, обыкновенным или в частных производных. В настоящем пособии ограничимся рассмотрением задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Простейшее ОДУ имеет вид:

.                                    (2.1)

Для него может быть поставлена задача Коши: найти решение y=y(x), , удовлетворяющее (2.1) и начальному условию

.                                          (2.2)

Другими словами, требуется получить интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку M(a,y₀). Существование и единственность решения задачи (2.1)-(2.2) следует из теоремы Коши  [1]. Приведём её без доказательства.

Теорема Коши. Если правая часть  уравнения (2.1) и её частная производная  определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных  и , то для всякой внутренней точки  этой области данное уравнение имеет единственное решение, принимающее заданное значение  при .

Кадр 19

Если речь идёт об обыкновенном дифференциальном уравнении n-го порядка ()

,                           (2.3)

то его решение (интегрирование) заключается в нахождении функций , которые удовлетворяют (2.3) для всех .

Общее решение уравнения (2.3) имеет вид:

.                                    (2.4)

Здесь  – произвольные постоянные, выбор которых определяет частное решение уравнения (2.3).

Задача Коши для уравнения n-го порядка (2.3) формулируется так: найти частное решение  уравнения (2.3), удовлетворяющее n начальным условиям:

(2.5)

По заданным условиям (2.5) определяются  из (2.4).

В приложениях часто встречаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, при изучении:  движения трёх материальных тел, взаимодействующих между собой по закону всемирного тяготения Ньютона; движения материальной точки в сопротивляющейся среде; свободных колебаний маятника в сопротивляющейся среде и т. д.

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений 1-го порядка

,

,                                         (2.6)

- - - - - - - - - - - - - - -

 

заключается в определении функций , удовлетворяющих системе (2.6) и начальным условиям

.                     (2.7)

Отметим, что уравнение (2.3), разрешённое относительно , может быть с помощью замены

 

сведено к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка вида (2.6).

Если функции ,  из (2.6) непрерывны в области

 

и удовлетворяют условию Липшица по переменным , то решение задачи (2.6), (2.7) существует и единственно в G.

Все методы решения задачи Коши для ОДУ делятся на точные, приближённые и численные. Точные методы изучаются в курсах дифференциальных уравнений и позволяют выразить решение уравнения через элементарные функции или с помощью квадратур от элементарных функций. Класс задач, решение которых можно получить точными методами, сравнительно узок.

При использовании приближённых методов решение задачи Коши для ОДУ определяется как предел некоторой последовательности функций. При этом каждый член последовательности выражается через элементарные функции или квадратуры от элементарных функций. К приближённым методам относятся: разложения решения в обобщённый степенной ряд, метод Чаплыгина, метод Пикара, Канторовича и др.  [2]. Приближённые методы удобно применять тогда, когда удаётся найти явное выражение для коэффициентов ряда.

Кадр 20

Численные методы применимы к широким классам уравнений и систем уравнений. С появлением ЭВМ эти методы стали одним из основных способов решения практических задач для ОДУ. Они не дают общего решения задач (2.1) или (2.6) и предназначены для вычисления приближённых (а иногда точных) значений частных решений задач (2.1)-(2.2) или (2.6)-(2.7) на заранее выбранной сетке аргумента  – конечном множестве точек , . В итоге искомое решение получается в виде таблицы.

Итак, пусть требуется находить значения , , приближённого решения задачи (2.1)-(2.2) в узлах сетки

.

Большинство численных методов решения задачи (2.1)-(2.2) можно представить в виде [3]:

.

Здесь  – некоторая функция указанных аргументов, которая определяется выбранным методом, видом уравнения (2.1) и построенной сеткой.

Определение 1. При ,  численные методы называют одношаговыми, а при  или  – многошаговыми. Одношаговые методы называют явными при , неявными при . Многошаговые методы при  называют с забеганием вперёд.

С примерами указанных видов методов и со способами их построения познакомимся в данной главе.

Численные методы можно применять только к корректно поставленным задачам. Однако формальное выполнение условий корректности может оказаться недостаточным для использования численных методов. Необходимо, чтобы задача была хорошо обусловлена (устойчива) относительно входных данных. Если это условие не учитывать, то небольшие изменения начальных условий или небольшие погрешности численных методов могут сильно исказить решение. Приведем пример плохо обусловленной задачи.

Пример 1. Рассмотрим задачу Коши  [4, с. 240]

,                                            (2.8)

, .                                  (2.9)

Общее решение уравнения (2.8) имеет вид

(2.10)

и содержит одну произвольную постоянную. Из начального условия (2.9) находим, что . Тогда . Незначительно изменим начальное условие. Например, пусть . Постоянная  тоже изменится слегка: . Однако

 

и решение сильно изменилось.

В заключение отметим, что достаточно рассмотреть методы решения Коши (2.1) –(2.2), т.к. задача (2.6)-(2.7) может быть записана в векторной форме

(2.11)

где , , . Следовательно, алгоритмы решения задачи (2.11) получаются из алгоритмов для одного уравнения формальной заменой  и  на .