Лабораторная работа 4. Элементы тензорного исчисления в Maple

 

Цель работы

Применение системы Maple для работы с тензорными величинами и их приложение к общей теории относительности.

 

Объект исследования

            Наибольшую пользу Maple может оказать при громоздких вычислениях, которые трудно проводить вручную из-за значительных временных затрат. Одной из таких областей с громоздкими выкладками является тензорное исчисление.

            Тензор можно определить как совокупность чисел, присоединенных к точке пространства и определяющих там некоторый объект (геометрический или физический). Следовательно, сам тензор зависит от точки, а не от выбранной системы координат, хотя компоненты тензора при изменении системы координат меняются. Для перехода из одной системы координат в другую в Maple используется команда transform.

            Над тензорами возможны различные типы операций: как то сложение, умножение, свертка, подстановка индексов, симметризация, альтернирование. Для того чтобы начать работу с тензорами в Maple, необходимо подключить пакет tensor.

            Суммой двух тензоров называется тензор, получаемый путем сложения одноименных компонент тензоров одинаковой структуры. Кроме того, тензора можно умножать на скаляры, т.е. умножать каждую компоненту тензора как число на скаляр. В Maple для этого предусмотрена команда lin_com. Произведением двух тензоров называется тензор, получаемый умножением каждой компоненты одного тензора на каждую компоненту другого тензора.

Сверткой тензора называется тензор, получаемый суммированием компонент, имеющих одинаковый верхний и нижний индексы. Для умножения тензоров используется команда prod, для свертки – команда contract.

Подстановка индексов – это операция изменения порядка следования индексов у тензора, например . Для осуществления этой операции используется команда permute_indices. С операцией подстановки индексов тесно связаны операции симметризации и антисимметризации (альтернирования). При симметризации из индексов тензора выбирается некоторое их число N, над этими индексами проводится N! всевозможных подстановок и берется среднее арифметическое всех получаемых при этом N! тензоров. При альтернировании результаты нечетных подстановок при получении среднего арифметического берутся с противоположным знаком. Для выполнения этих операций в Maple предусмотрены команды symmetrize и antisymmetrize.