1.6. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

[1, гл. II, с. 94], [2, п. 2.7], [3, с. 32 – 37]

1. Уравнение

(1.6.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть является полным дифференциалом некоторой функции . Это имеет место, если

.

Чтобы решить уравнение (6.1), надо найти функцию , от которой полый дифференциал

равен левой части уравнения (6.1). Тогда общее решение уравнения (1.5.1) можно написать в виде , где - произвольная постоянная.

Пример 1.

Решить уравнение

(1.6.2)

Решение. Так как

,

то уравнение (1.6.2) является в полных дифференциалах. Найдем функцию , полый дифференциал которой

был бы равен левой части уравнения (6.2), т.е. такую функцию ,что

(1.6.3)

Интегрируем по  первое из уравнений (1.6.3), считая  постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования надо поставить - неизвестную функцию от

Подставляя это выражение для  во второе из уравнений (6.3) найдем :

.

Следовательно, можно взять  и общее решение уравнения (1.6.2) будет иметь вид

.