Как отношение, так и отображение показывают связи между элементами множеств, причем очевидно, что бинарное отношение Q множеств S1 и S2 определяет два отображения R : S1 → S2 и R-1 : S2 → S1, каждое из которых является обратным к другому. Будем записывать бинарное отношение, указывая минимальные и максимальные кардинальные числа для каждого отображения следующим образом:
Это означает, что множества S1 и S2 связаны отношением Q, причем каждый элемент множества S1 может быть связан с любым количеством от m1 до m2 элементов в S2, а каждый элемент из S2, в свою очередь, может быть связан с любым количеством от n1 до n2 элементов в S1. Такая запись позволяет указать ограничения на связи между элементами множеств.
Если на отображение не наложено никаких ограничений с точки зрения максимального кардинального числа, то считается, что это число не определено. В этом случае принято указывать знак бесконечности (∞). Например, в отношении
каждый элемент из S2 может быть связан с любым количеством элементов в S1, но не менее чем с двумя.
Значения минимальных кардинальных чисел показывают полноту отображений: нулевое значение указывает на частичность отображения, а ненулевое означает, что отображение полное.
Например, отношение
показывает, что отображение R : СКЛАД → ТОВАР является частичным, а обратное ему отображение
Для типов объектов это означает, что каждый экземпляр одного типа объекта может быть связан с несколькими экземплярами другого. Например, если каждый студент из множества СТУДЕНТ может посещать от 4 до 6 дисциплин множества ДИСЦИПЛИНА, причем количество студентов для каждой дисциплины ограничено от 10 до 100, то отображение ОБУЧЕНИЕ имеет вид
Если в этом примере количество студентов для любой дисциплины не ограничено, то имеем
Заметим, что отображение Q : СТУДЕНТ → ДИСЦИПЛИНА является полным, а обратное ему – частичным.
Вид связи между множествами определяется значениями максимальных кардинальных чисел. При этом связи могут быть как между типами объектов в целом, так и между отдельными атрибутами. Если оба максимальные кардинальные числа больше единицы (n2 > 1 и m2 > 1), то такое отношение в моделировании данных называется связью “многие-ко-многим” или (N:M)-связью. Если одно максимальное кардинальное число равно единице, а другое больше единицы (например, n2 = 1, m2 > 1), то такое отношение называется связью “один-ко-многим”, функциональной или (1:N)-связью. Если оба максимальные кардинальные числа равны единице (n = 1 и m = 1), то такое отношение называется “один-к-одному”, взаимно однозначной или (1:1)-связью. Связи “многие-ко-многим”, “один–ко–многим” (функциональная) и “один-к-одному” (взаимно однозначная) могут быть не только между типами объектов в целом, но и между отдельными атрибутами. Внешние и концептуальные модели часто представляются в виде схем связей объектов, атрибутов, экземпляров.
При функциональной связи типов объектов каждый экземпляр одного типа объекта может быть связан с несколькими экземплярами другого, но не наоборот. Например,
Здесь каждый поставщик может поставлять только один вид товара, а каждый вид товара может поставляться более чем одним поставщиком.
Связь “один-к-одному” для типов объектов означает, что каждый экземпляр одного типа объекта может быть связан с единственным экземпляром другого. Например,
Взаимно однозначная связь для атрибутов означает, что каждое значение одного атрибута может быть связано только с одним значением другого атрибута. При функциональной связи между атрибутами каждое значение одного атрибута может быть связано с несколькими значениями другого атрибута, но не наоборот. Связь “многие–ко–многим” для атрибутов означает, что каждое значение одного атрибута может быть связано с несколькими значениями другого.
Например, для атрибутов Код города и Город такая связь означает, что каждый город имеет единственный телефонный код:
Например, для атрибутов Номер клиента и Имя клиента может фиксироваться функциональная связь в том случае, если клиентов с одинаковыми именами может быть много, но все они имеют уникальные идентификационные номера:
На этих схемах взаимно однозначная связь обозначается двунаправленной дугой с одинарными стрелками, связывающей элементы схемы. Функциональная связь обозначается дугой, на одном конце которой находится одинарная стрелка, а на другом – двойная. Двойная стрелка направлена от одного ко многим. Связь “многие-/ко-/многим” указывается на схеме дугой с двойными стрелками на обоих концах.
Например, если в банке каждый клиент может иметь только один счет, то типы объектов КЛИЕНТ и СЧЕТ связаны взаимно однозначной связью, и соответствующая схема имеет следующий вид:
Например, если клиенты могут иметь несколько счетов, то эти объекты связаны функциональной связью, и изобразить эту связь можно следующим образом:
